È vero in generale se \( f: U \to \mathbb{C} \) è una funzione olomorfa in \( \overline{A}(z_0,r,R) \subset U \) abbiamo che il suo sviluppo in serie di Laurent è unico su \( A(z_0,r,R) \).
Wlog \(z_0=0 \), supponiamo per assurdo che
\[ f(z) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} a_kz^k \]
e
\[ f(z) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} b_kz^k \]
sono due sviluppi in serie di Laurent distinti, dunque con \( a_k \neq b_k \) per almeno un \( k \in \mathbb{Z} \).
Siccome abbiamo che
\[ a_k= \frac{1}{2\pi i } \oint_{\gamma} \frac{f(\xi)}{\xi^{k+1}} d \xi \]
e
\[ b_k= \frac{1}{2\pi i } \oint_{\gamma} \frac{f(\xi)}{\xi^{k+1}} d \xi \]
Per tutti i cammini \( \gamma \) omotopi a \( \partial D(0,R) \) in \( U \). Risulta inoltre che per ogni intero \( n \) se moltiplichiamo
\[ z^{-(n+1)} f(z) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} a_kz^{k-n-1} = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} b_kz^{k-n-1} \]
Scegliendo un cammino omotopo a \(\partial D(0,R) \) in \( A(0,r,R) \) per ottenere
\[ a_n = b_n \ \ \forall n \in \mathbb{Z} \]
Nel nostro caso abbiamo invece una funzione che non è olomorfa in nessun \( U \) tale che \( \overline{A}(z_0,r,R) \subset U \) in quanto la chiusura dell'annello racchiude proprio i poli della funzione, pertanto dobbiamo dimostrarlo in modo differente.
Sia \( f \) una funzione olomorfa su \( A(z_0,r,R) \) allora il suo sviluppo in serie di Laurent è unico.
Come prima
Wlog \(z_0=0 \) e supponiamo per assurdo che
\[ f(z) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} a_kz^k \]
e
\[ f(z) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} b_kz^k \]
sono due sviluppi in serie di Laurent distinti, dunque con \( a_k \neq b_k \) per almeno un \( k \in \mathbb{Z} \). Ora notiamo che
se moltiplichiamo
\[ z^{-(n+1)} f(z) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} a_kz^{k-n-1} = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} b_kz^{k-n-1} \]
Pertanto dato \( \epsilon >0 \) notiamo che le serie qui sopra convergono uniformemente su \( A(0,r + \epsilon, R- \epsilon) \) e scegliendo un opportuno cammino \( \gamma \) in \( A(0,r + \epsilon, R- \epsilon) \)
\[\oint_{\gamma}\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} a_k z^{k-n-1} dz = \oint_{\gamma} \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} b_k z^{k-n-1} dz \]
Possiamo scambiare integrale e sommatoria in quanto convergono uniformemente pertanto
\[\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} a_k \oint_{\gamma} z^{k-n-1} dz = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} b_k \oint_{\gamma}z^{k-n-1} dz \]
E otteniamo che \( 2 \pi i a_n = 2 \pi i b_n \) siccome
\[ \oint_{\gamma} z^{k-n-1} dz = 2 \pi i \delta_{n,k} \]
Dove \( \delta_{i,j} \) è la delta di Kronaker.
E segue che \( a_n=b_n \) per ogni \( n \in \mathbb{Z} \).
La nostra funzione rienta nel secondo caso
