Prodotto di Cauchy e Shifting Theorem - applicazione

[fabri_90]

Buongiorno a tutti voi,
vi scrivo in quanto ho un problema nel capire come è stato applicato il Prodotto di Cauchy e il "shifting theorem" (non so tradurlo in italiano) in un passaggio di un paper scientifico.

Nello specifico, ho trovato che il prodotto di Cauchy è definito come:
\(\displaystyle
\sum_{n=0}^\infty a_n \sum_{n=0}^\infty b_n = \sum_{k=0}^\infty c_k\) dove \(\displaystyle
c_k = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}
\)

Mentre il "shifting Theorem" applicato al delta di Dirac ha la forma:
\(\displaystyle
\delta \bigl( \omega - r \Omega \bigr) * \delta \bigl( \omega - l \Omega - \omega_c \bigr) = \delta \bigl( \omega - (r + l) \Omega - \omega_c \bigr)
\)

Dove * rappresenta la convoluzione.

Nel paper in questione applicano questi due teoremi per riscrivere l'equazione:
\(\displaystyle
\sum_{r=-\infty}^\infty W_r \delta \bigl( \omega - r \Omega \bigr) * \sum_{l=-\infty}^\infty p_l \delta \bigl( \omega - l \Omega - \omega_c \bigr)
=
\sum_{r=-\infty}^\infty \sum_{l=-\infty}^\infty W_{r-l} \times p_l \delta \bigl( \omega - r \Omega - \omega_c \bigr)
\)

Chiedo gentilmente se qualcuno di voi riesce a spiegarmi come è stato generalizzato il prodotto di Cauchy per applicarlo ad una sommatoria che va da \(\displaystyle -\infty \) a \(\displaystyle +\infty \) e, se possibile, i vari passaggi per giungere alla rappresentazione finale.

Vi ringrazio

[dissonance]

Il primo passaggio è riscrivere

\(\displaystyle
\sum_{r=-\infty}^\infty W_r \delta \bigl( \omega - r \Omega \bigr) * \sum_{l=-\infty}^\infty p_l \delta \bigl( \omega - l \Omega - \omega_c \bigr)\)

come
\[
\sum_{r=-\infty}^\infty\sum_{l=-\infty}^\infty W_r p_l \left[\delta \bigl( \omega - r \Omega \bigr) *\delta \bigl( \omega - l \Omega - \omega_c \bigr)\right],
\]
e adesso calcola ogni convoluzione in parentesi quadra con il teorema che dicevi sopra. Poi bisognerà fare un cambio di variabile in una sommatoria.