Dimostrare che una funzione meromorfa non ha poli in un determinato insieme.

[3m0o]

Sia \(f: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{C} \) limitata e continua a pezzi, e sia la sua trasformata di Laplace,\( \mathcal{L}f \), meromorfa su \( \mathbb{H}_{-\delta}:= \{ z \in \mathbb{C} : \Re( z) > -\delta \}\) per \(\delta >0 \) e olomorfa su \(\overline{\mathbb{H}}_0\). Sia \( T >0 \) e
\[ \mathcal{L}_Tf(z):= \int_0^T f(t)e^{-tz}dt \]
(1) Sia \(R >0 \) e \( \Omega_R = \mathbb{H}_{-\delta/2}\cap D(0,R) \) dimostra che
\[ \mathcal{L}_Tf(0)-\mathcal{L}f(0)= \frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial \Omega_R} (\mathcal{L}_Tf(z)-\mathcal{L}f(z))\left( 1 + \frac{z^2}{R^2} \right)e^{Tz} \frac{dz}{z} \]

Allora chiaramente ponendo \( g(z):=\left( 1 + \frac{z^2}{R^2} \right)e^{Tz} \) abbiamo che \( g(0)=1 \). Inoltre se non erro \( g \) è olomorfa su \( \mathbb{C} \), in particolare su \( \Omega_R \).
Se \(( \mathcal{L}_Tf-\mathcal{L}f)(z) \) è olomorfa su \( \Omega_R \) allora il risultato segue dalla formula integrale di Cauchy. Il problema è che non so come mostrare che effettivamente essa non possieda poli in \( \Omega_R \).

Posso suppore che \(( \mathcal{L}_Tf-\mathcal{L}f)(z) \) non ha poli su \( \Omega_R \) poiché i poli sono isolati in quanto meromorfa?