combinatoria e prodotto wedge

[materia]

[ERRATA CORRIGE]
Per dimostrare un risultato di geometria differenziale, mi servirebbe provare la seguente identità di natura combinatoria.
L'asserto da provare è questo:sia $f$ zero forma e $\omega=dx_{I^{\to}}$ una k-forma alternante, allora $df\wedge\omega_{I^{\to}}(v_1,...,v_{k+1})=\sum_{i=1} ^{k+1}(sgn(\sigma_i))df(v_{\sigma_i(1)})dx_{I^{\to}}(v_{\sigma_i(2)},...,v_{\sigma_i(k+1)})$
dove $sigma_1$ è la permutazione identità,
\[\sigma_{k+1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &\dotsc & k+1 \\ k+1 & 1 & 2 & \dotsc & k \end{pmatrix}\]
mentre per tutti gli altri indici compresi tra 1 e k+1 si ha la permutazione
\[\sigma_{j} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &\dotsc & j & j+1 &\dotsc & k+1 \\ j & 1 & 2 & \dotsc & j-1 & j+1 &\dotsc & k+1 \end{pmatrix}\] .

La definizione che si trova in letteratura di prodotto wedge, nel mio caso è
$df\wedge\omega(v_1,...,v_n):=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma \in S_{k+1}}sgn(\sigma)df(v_{\sigma(1)})\omega(v_{\sigma(2)},...,v_{\sigma(p)})$

La mia congettura mi sembra intuitivamente giusta, perché nel caso generale in cui $df$ fosse una p-forma non alternante e $\omega$ una k-forma non alternante, mi rendo conto che la mia tesi sarebbe senza dubbio falsa, in quanto si devono necessariamente considerare tutte le permutazioni per rendere la forma alternante, tuttavia nel mio caso abbiamo, sia una 1-forma al primo fattore, sia una k-forma già alternante come secondo fattore, quindi sarebbe ridondante usare tutte le permutazioni, perché le uniche che aggiustano i problemi di alternanza intuitivamente mi viene da dire che siano quelle che ho riportato sopra.

Le mie infime conoscenze di combinatoria mi impossibilitano dal dimostrare in maniera rigorosa la mia congettura, (a mio discapito l'ho provato per $\omega$ 1-forma e 2-forma ) qualcuno di voi saprebbe farlo o saprebbe darmi conferma della correttezza del mio ragionamento?

[apatriarca]

La formula è corretta solo se scrivi \(f\) al posto di \(df\). Nel seguito darò per scontato tu abbia semplicemente sbagliato a scrivere. Se invece la formula che stavi cercando fosse davvero con \(df,\) non credo la formula sia corretta.

Per prima cosa sia \((\dots \widehat{v_j} \dots)\) la tupla \((v_1, \dotsc, v_{k+1}\,)\) in cui è stato rimosso il valore \(v_j\). La tua permutazione \(\sigma_i\) è semplicemente il ciclo \( (1\,\dots\,i) = (1\;\;i)\,(1\;\;i-1)\,\cdots\,(1\;\;2) \) che ha quindi segno uguale a \((-1)^{i-1}\). Se ho capito bene il tuo post vuoi dimostrare che:
\[ (f \wedge \omega)\,(v_1, \dotsc, v_{k+1}\,) = \sum_{i=1}^{k+1} (-1)^{i-1}\,f(v_i)\,\omega(\dots \widehat{v_i} \dots) \]
L'idea per arrivare a questa formula è quella di scomporre ogni permutazione in \(S^{k+1}\) nella tua permutazione \(\sigma_i\) che fissa il primo valore seguita da una permutazione \(\tau \in S^k\) dei restanti valori. Il segno di questa permutazione sarà \( \operatorname{sign}(\sigma_i)\,\operatorname{sign}(\tau) \). Usando questa scomposizione possiamo riscrivere la formula generale nella forma
\[ (f \wedge \omega)\,(v_1, \dotsc, v_{k+1}\,) = \frac{1}{k!} \sum_{i=1}^{k+1} (-1)^{i-1} f(v_i)\,\left( \sum_{\tau \in S_k} \operatorname{sign}(\tau)\,\omega\,\tau\,(\dots \widehat{v_j} \dots )\right) \]
dove \(\tau(\dots \widehat{v_j} \dots)\) è la tupla definita in precedenza permutata dalla permutazione \(\tau\).

A questo punto sappiamo che \( \omega\,\tau(\dots \widehat{v_j} \dots) = \operatorname{sign}(\tau)\,\omega\,(\dots \widehat{v_j} \dots) \) per cui i due segni si moltiplicano tra di loro ottenendo il valore \(1\). Siccome ci sono \(k!\) permutazioni e la sommatoria ha tutti valori uguali otteniamo la formula che stavi cercando. Spero di essere stato chiaro. Fammi sapere se qualche passaggio non ti è chiaro.

Trovi la formula (nella forma generale) per esempio in Wikipedia alla pagina Exterior Algebra (nella sezione chiamata "Alternating Multilinear Form". Non ho al momento accesso a manuali più attendibili ma il ragionamento è lo stesso di questo caso particolare.

[materia]

Mi son reso conto di aver fatto un errore di scrittura! è $df$ al posto di $f$ (ora ho corretto) anche perchè non avrebbe senso valutare una zero forma in una fibra del fibrato tangente...
Suppongo quindi che la tua risposta motivi la validità della mia congettura (si, la formula che hai scritto, salvo il mettere $df$ al posto di $f$, è ciò che voglio provare)