Funzioni intere all'infinito.

[3m0o]

Se \( f \) intera \( f : \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) se vero dimostra se falso contro esempio:
i) \( \lim_{z \to \infty} f(z) = c \in \mathbb{C} \) allora \( f \) ha una singolarità eliminabile all'infinito?
ii) \( \lim_{z \to \infty} \left|f(z)\right| = + \infty \) allora è \( f \) è un polinomio?
iii) \(f (z) \neq 0 \) per ogni \( z \), e \( \lim_{z \to \infty} f(z) = +\infty \) allora è \( f \) è costante?
iv) \(f \) non costante e non è un polinomio allora \( \lim_{z \to \infty} f(z) \) non esiste.

Direi che sono tutte vere:
iv)
Siccome se \( f \) non è costante e non è un polinomio abbiamo che \( f \) possiede una singolarità essenziale all'infinito, ovvero significa che \( g(z)=f(1/z) \) possiede una singolarità essenziale in \(0 \) allora abbiamo per Casorati-Weierstrass che \( \omega \in \mathbb{C} \) esiste \( z_n \to 0 \) tale che \( \lim_{n \to \infty} g(z_n)=\omega \)
questo equivale a dire che il limite di \( \lim_{z \to 0 } g(z)=\lim_{z \to \infty } g(1/z)=\lim_{z \to \infty } f(z) \) no esiste poiché posso trovare direzioni distinte che restituiscono limiti distinti. E questo dimostrerebbe la iv)

ii)
Dal fatto che \( f \) non costante non un polinomio abbiamo che \( f \) possiede una singolarità essenziale segue che se \( \lim_{z \to \infty} \left|f(z)\right| = + \infty \) abbiamo che \( f \) è un polinomio (non costante) poiché possiede un polo all'infinito.
i) E se \( \lim_{z \to \infty} f(z) = c \in \mathbb{C} \) abbiamo che \( f \) ha una singolarità eliminabile, ed è pertanto limitata per il principio dei massimi, ed è costante per Liouville.

iii) Supponiamo per assurdo che non è costante
Se \( f \) non si annulla mai allora \( 1/f(z) \) è intera e \( \lim_{z \to \infty} 1/f(z) = 0 \) ed è pertanto limitata e dunque è costante per Liouville.
Ma su questo punto ho qualche dubbio in quanto non mi pare che una costante vada ad infinito quando \( z \) va ad infinito...