Somma dei residui.

[3m0o]

Dimostrare che se \( f: \mathbb{C} \setminus \{ z_1, \ldots, z_n \} \to \mathbb{C} \) è olomorfa allora la somma dei residui è zero.

Sarà un problema di segno ma non lo trovo.
Dimostriamo
\[ \sum\limits_{j=1}^{n} res(f,z_j) + res(f,\infty) = 0 \]
Con \( M \) molto grande abbiamo che
Per definizione
\[ res(f,\infty) = res(- f(1/z)/z^2,0)= - \frac{1}{2 \pi i} \oint_{\partial D(0, 1/M)} \frac{f(1/z)}{z^2} dz = \frac{1}{2 \pi i } \oint_{\partial D(0,M)} f(z) dz \]
Al contempo
\[ \frac{1}{2 \pi i } \oint_{\partial D(0,M)} f(z) dz = \sum\limits_{j=1}^{n} res(f,z_j) \]
Pertanto
\[\sum\limits_{j=1}^{n} res(f,z_j) - res(f,\infty) = 0 \]
invece dovrei ottenere
\[\sum\limits_{j=1}^{n} res(f,z_j) + res(f,\infty) = 0 \]

Edit: Domanda supplementare, quindi se l'integrale di una funzione è nullo su ogni cammino chiuso di \( \mathbb{C} \) vuol dire che il suo residuo all infinito è zero?
Pertanto siccome una funzione intera ha sempre una singolarità all infinito vuol dire che il residuo di questa singolarità è sempre zero?

[3m0o]

Quindi ad esempio se ho una funzione \( f: \mathbb{C} \setminus \{ 0 \} \to \mathbb{C} \) olomorfa che soddisfa \( z^{1+ \alpha } f(z) \to 0 \) quando \( \left| z \right| \to \infty \) e con \(\alpha > 0 \) significa per dimostrare che il residuo in \( 0 \) di \( f \) è zero. Posso operare in questo modo
\[ h(z) = -\frac{f(1/z)}{z^{2}} \]
Inolre
\[ res(h,0) = res(f, \infty) \]
inoltre abbiamo che
\[ \left| res(h,0) \right| \leq \frac{1}{2 \pi i} \oint_{\partial (0,R) } \left|h(z)\right| dz \leq \frac{1}{2 \pi i} \oint_{\partial (0,R) } \left|\frac{f(1/z)}{z^{1+\alpha}}\right| \xrightarrow[R \to 0]{} 0 \]
pertanto
\[ res(h,0) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{\partial (0,R) } h(z) dz =0\]
Quindi siccome la somma dei residui (quello in zero e quello in infinito) fa zero abbiamo che il residuo in zero dev'essere per forza zero?

Posso fare anche il procedimento inverso, ovvero se il residuo in zero vale zero allora in infinito vale zero pure?

[3m0o]

Trovato:

\[ res(f,\infty) = res(- f(1/z)/z^2,0)= - \frac{1}{2 \pi i} \oint_{\partial D(0, 1/M)} \frac{f(1/z)}{z^2} dz = \frac{1}{2 \pi i } \oint_{\partial D(0,M)} f(z) dz \]

Effettuando il cambio di variabile \( z= M^{-1} e^{it} \)
\[- \frac{1}{2 \pi i} \oint_{\partial D(0, 1/M)} \frac{f(1/z)}{z^2} dz = - \frac{1}{2 \pi i} \int_{0}^{2 \pi} M^2 e^{-2it} \frac{i}{M} e^{it} f(M e^{-it}) dt\]
\[= \frac{1}{2 \pi i} \int_{0}^{2 \pi} r^2 Mi e^{-it} f(M e^{-it}) dt= \frac{1}{2 \pi i } \oint_{\ominus \partial D(0,M)} f(z) dz \]
Dove con \(\ominus \partial D(0,M) \) intendo il cammino percorso al contrario.