Funzione analitica identicamente nulla (2)

[3m0o]

Sia \( f: \mathbb{H} \to \mathbb{C} \) analitica sul semi-piano \( \mathbb{H} = \{ z : \Im(z)\geq 0 \} \) e tale che
\( f(z) \in e^{- i \pi/4} \mathbb{R} \) se \( z \in \mathbb{R} \) e tale che \( f \) non possiede un residuo all'infinito, dimostra che \( f = 0 \).

Non so se è giusto ma ad intuito direi che siccome \( f \) non possiede residui all'infinito allora \( \left| f(z) \right| = o( 1/ \left| z \right|) \).
Dovrebbe seguire da
\( res(f,\infty)=-res(f(1/z)/z^2,0)= - \lim_{z \to 0} zf(1/z) /z^2= - \lim_{z \to 0} f(1/z) /z = 0 \)
(penso quindi sia vero anche l'implicazione inversa? Cioé che se \( \left| f(z) \right| = o( 1/ \left| z \right|) \)allora il residuo all infinito è zero)
Denotiamo \( C_R^+ = \) la semiconferenza di raggio \(R \). E dimostriamo che quando \(R \to \infty \)
\[ \int_{C_R^+} f^2(z)e^{i \pi/2} dz \to 0 \]

Siccome abbiamo che \( f \) analitica anche \(f^2 \) è analitica in più abbiamo che
\[ \left| \int_{C_R^+} f^2(z)e^{i \pi/2} dz \right| \leq \int_{C_R^+} \left| f^2(z) \right| dz \leq \int_{C_R^+}\frac{1}{ \left| z \right|^2}dz \leq \frac{1}{R^2} 2 \pi R \xrightarrow[R \to \infty]{}0 \]

Denotiamo \( \gamma_R = [-R,R] \oplus C_R^+ \) , abbiamo per morera.
\[ \oint_{\gamma_R} f^2(z)e^{i \pi/2} dz=\int_{-R}^{R} f^2(x) e^{i \pi /2} dx + \int_{C_R^+} f^2(z)e^{i \pi/2} dz = 0 \]
Segue che
\[ \lim_{R\to \infty}\int_{-R}^{R} f^2(x) e^{i \pi /2} dx =- \lim_{R\to \infty} \int_{C_R^+} f^2(z)e^{i \pi/2} dz = 0 \]
Inoltre poiché abbiamo che \( f(x)e^{i \pi/4} \in \mathbb{R} \) segue che \( f^2(x)e^{i \pi/2} \in \mathbb{R}_+ \), inoltre siccome l'integrale di
\[ \lim_{R \to \infty} \int_{-R}^{R}f^2(x) e^{i \pi /2} dx =0 \]
Abbiamo che \( f(x) =0 \) per ogni \( x \in \mathbb{R} \), e per il principio degli zeri isolati è identicamente nulla ovunque.

[3m0o]

Non so se è giusto ma ad intuito direi che siccome \( f \) non possiede residui all'infinito allora \( \left| f(z) \right| = o( 1/ \left| z \right|) \).
Dovrebbe seguire da
\( res(f,\infty)=-res(f(1/z)/z^2,0)= - \lim_{z \to 0} zf(1/z) /z^2= - \lim_{z \to 0} f(1/z) /z = 0 \)
(penso quindi sia vero anche l'implicazione inversa? Cioé che se \( \left| f(z) \right| = o( 1/ \left| z \right|) \)allora il residuo all infinito è zero)

Penso che in generale sia falso.
In una direzione è vero questo, se \( f(z) = o( 1/ z^2 ) \) quando \( \left| z \right| \to \infty \) allora non possiede residui all'infinito
Infatti segue che \( z^2 f(z) \to 0 \) quando \( z \to \infty \) e quindi \( f(1/z)/z^2 \to 0 \) quando \( z \to 0 \) e pertanto
\[ - \frac{1}{2 \pi i} \oint_{\partial D(0,R)} \frac{f(1/z)}{z^2} dz \xrightarrow[R \to 0]{} 0 \]
nell'altra direzione abbiamo che \( z \) non è un \( o(1/z^2) \) quando \( \left| z \right| \to \infty \) ma non possiede residui all'infinito, infatti
\( res(z,\infty)=res(\frac{1}{z^3},0) = 0 \).

[3m0o]

Mi sa che è falso a meno che non imponiamo \( \left| f (z) \right| = o ( 1/\left|z\right| ) \) o una condizione equivalente.
controesempio: \( f(z)=e^{-i \pi/4}z \) soddisfa tutte le condizioni.