Dubbio su ipotesi di Lipschitzianità

[fillippodepaolis94]

Salve, sto studiando questa dimostrazione



Non capisco perchè l'ipotesi di Lipschitzianità implichi che tali insiemi $A$ e $B$ siano vuoti. Grazie.

[Rigel]

Ragioniamo sull'insieme $A$.
Vogliamo dimostrare che, posto $v(x) := x^{1/3}/4$, esiste $a \in (0,1)$ tale che $u(a) = v(a)$.
Poiché $u$ è Lipschitziana (diciamo con costante di Lipschitz $L$) e $u(0) = 0$, hai che
\[
|u(x)| \leq L\, x < \frac{x^{1/3}}{4},
\qquad \forall x \in (0, (4L)^{-{3/2}}),
\]
dunque $u(x) < v(x)$ in un'intorno destro dell'origine.
D'altra parte $1 = u(1) > v(1) = 1/4$, quindi per il teorema degli zeri l'insieme $A$ non è vuoto.