Comunque vedo che sul calcolo del residuo della singolarità essenziale sei andato piuttosto lontano. Resta solo da sviluppare in serie di Taylor
$1/z 1/(z−5)=sum_(n=0)^(∞)an(z−1)^n$
Ho provato a procedere nel seguente modo anche se non sono ancora arrivato ad una conclusione:
$ 1/(z(z-5)) = 1/(z(z-1-4)) = 1/(-4z(1-(z-1)/4)) = 1/(-4z) + sum _(n=0) ^(infty) ((z-1)/4)^n $
dove la serie converge per $ |z-1|<4 $ .
Quindi per ora la mia funzione risulta essere:
$ e/ (sum_(n=0)^(+infty)(4/((z-1)n!))^n) 1/(-4z) sum_(n=0)^(+infty) ((z-1)/4)^n $
Ora c'è quel $ 1/(-4z) $ che mi da problemi...
Tornando al residuo all'infinito, vorrei porti una domanda: Per tutte le funzioni è possibile calcolare il residuo all'infinito? Ho provato a rispondermi e secondo me è no. In base a come sono arrivato a definire il residuo all'infinito, se considero ad esempio la funzione $ 1/sin(z) $, questa ha tutte singolarità del tipo $ z_k= kpi AA k in Z $ per cui non posso considerare una curva che contenga tutte le singolarità e considerare il residuo all'infinito come ho fatto prima, giusto?