I nuclei delle potenze di perturbazioni compatte dell'identità si stabilizzano?

[otta96]

Ciao a tutti, ho letto che se $X,Y$ sono spazi di Banach, $K:X->Y$ è un operatore (lineare) compatto, $\lambda\inRR$, allora lo spazio $\uuu_{n\inNN}ker(\lambda I-k)^n$ ha dimensione finita.
Come si dimostra?
Io ci ho pensato un po' e ho pensato che ognuno degli spazi che si uniscono ha dimensione finita perché sviluppando la potenza con la formula di Newton si ha l'autospazio relativo a $\lambda^n$ di un operatore compatto (dato che gli operatori compatti formano un ideale), quindi ha dimensione finita e dato che sono inclusi ognuno nei seguenti, la cosa che mi domando è equivalente a dire che la successione di questi spazi di stabilizza.
Qualcuno mi può aiutare?

[dissonance]

Si, secondo me è quello, sono successioni di spazi di dimensione finita uno incluso nell'altro.

[solaàl]

Ma cosa ti assicura che la successione dei sottospazi, o delle dimensioni se vuoi, sia stazionaria se non ha un maggiorante?

[otta96]

Esatto, in linea di principio l'$n$-esimo sottospazio potrebbe avere dimensione (ad esempio) $n$, così che l'unione abbia dimensione infinita.

[dissonance]

Hai poi capito come si dimostra questo fatto? Sono curioso. La compattezza ci vuole perché sennò c'è un controesempio facile: l'operatore
\[
L(x_1, x_2, x_3, \ldots):=(x_2, x_3, x_4, \ldots), \qquad L\colon \ell^2\to \ell^2, \]
che non è compatto, è tale che
\[
\dim\ker(L^n)=n.\]

[otta96]

Eh no, magari lo chiedo su MSE.

[otta96]

Ho trovato la risposta in queste dispense. Teorema 5.2.8 (i) pag 213-214 (delle dispense, altrimenti 225-226 del pdf).