Maledetto Fourier!

[Exodus]

Ciao a tutti,
c'è una tipologia di esercizio di fourier che non riesco a svolgere.

La funzione è dispari, ti serve solamente un intergrale per risolverlo.
Per quanto riguarda il periodo intendi questo: \(\frac{4}{\pi }\)
oppure \(4\pi \)

[Exodus]

Come fai a dire che u(t) = 5 sign(t) è dispari?

Conosco la funzione

L'integrale che dovrei risolvere come lo ricavi?

Beh , come pretendi di risolvere l'esercizio se non conosci la serie di Fourier

Probabilmente mi mancano dei concetti di teoria.

Posso darti la soluzione, ma poi rischi di non capirci niente...

Inizia tu a dirmi cosa sai della serie di Fourier

[Exodus]

Ti servono i seguenti dati:

Il perioodo \(T=4\pi\)
La frequenza espresssa in radianti \(\omega _{0} =\frac{2\pi }{T}\)

Poi calcoli il seguente integrale per trovare i coefficienti:

\(\beta _{k}=\frac{4}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}u\left ( t \right )sin\left ( k\omega _{0} t\right )dt\)

con $k>0$

Sapendo che la funzione segno per le $t$ positive vale 1

[pilloeffe]

Ciao RobBobMob,

svolgendo l'integrale così come me lo poni, ottengo un coseno

Veramente seguendo le indicazioni di Exodus se non ho fatto male i conti mi risulta

$\beta_k = 4/T \cdot \frac{5T sin^2(k\pi/2)}{k\pi} = 5\frac{4 sin^2(k\pi/2)}{k\pi} = 5\frac{2 sin^2(k\pi/2)}{k\pi/2} = 5k\pi (\frac{sin(k\pi/2)}{k\pi/2})^2 = 5k\pi \text{sinc}^2(k/2) $

ove $\text{sinc}(x) $ è la funzione seno cardinale normalizzata.

e non si avvicina alla soluzione data dal professore.

Visto che a quanto pare la conosci, qual è la soluzione data dal professore?

[Exodus]

svolgendo l'integrale così come me lo poni, ottengo un coseno e non si avvicina alla soluzione data dal professore.

La funzione coseno per multipli interi di $\pi$ la puoi scrivere anche in questo modo:

\(cos\left ( k\pi \right )=\left ( -1 \right )^{k}\)

[pilloeffe]

Beh, prova a scrivere diversamente $\beta_k $:

$\beta_k = 5\frac{4 sin^2(k\pi/2)}{k\pi} = 5\frac{2 sin^2(k\pi/2)}{k\pi/2} = 10 sin(k\pi/2) \text{sinc} (k/2) $

[Exodus]

Calcolo l'integrale:

\(\beta _{k}=\frac{4}{4\pi }\int_{0}^{\frac{4\pi }{2}}5sin\left ( \frac{k}{2} t\right )dt=\frac{10}{\pi k}\left ( 1-cos\left ( \pi k \right ) \right )\)

Ovvero:

\(\frac{10}{\pi k}\left ( 1-cos\left ( \pi k \right ) \right )=\frac{10}{\pi k}\left ( 1-\left ( -1 \right )^{k} \right )\)

Metto dentro la sommatoria (forma trigonometrica):

\(u\left ( t \right )=\frac{10}{\pi }\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1-\left ( -1 \right )^{k}}{k}sin\left ( \frac{k}{2}t \right )\)