Mi è venuto il pallino di calcolare questo integrale, così per esercizio;
\[
I=\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{ix^2}}{1+x^2}\, dx.\]
Se al numeratore ci fosse \(e^{ix}\) sarebbe un esercizio standard nell'uso del teorema dei residui; usando un percorso a semicerchio, si vedrebbe facilmente che l'integrale sul "grande cerchio" tende a zero. Ma con \(e^{ix^2}\) questo non è più vero. Ho pensato anche di sfruttare la simmetria e di calcolare
\[
2\int_0^\infty \frac{e^{ix^2}}{1+x^2}\, dx, \]
usando un percorso a quarto di cerchio, con una piccola deviazione intorno al polo in \(z=i\). L'unica cosa che riesco a concludere da questo ragionamento è che
\[
\tfrac12 I+ i \int_0^\infty \frac{e^{-i t^2}}{1-t^2}\, dt + \pi i \mathrm{Res}\left( \frac{e^{iz^2}}{1+z^2}, z=i\right)=0.\]
Il residuo è facile da calcolare e vale \(e^{-i}/2i\). Ma l'altro integrale, da intendersi nel senso del valore principale, non è più semplice da calcolare dell'integrale di partenza. Non so se si va da qualche parte per questa strada.
Qui ci sono dei maghi del teorema dei residui e magari qualcuno ha qualche idea interessante.