Dimostrazione con errore!

[3m0o]

Ma no, $j$ è già sufficientemente grande, ci stai facendo il limite. Dovrai fartela spiegare per bene questa cosa perché sono proprio curioso!

Ho chiesto al prof e l'errore si trova qui

in particolare se \( K \in \mathbb{N} \) è tale che \( n_k \geq M , \forall k \geq K \) allora \( \forall k,j \geq K \) risulta che
\[ \begin{Vmatrix} f_{n_{k}} - f_{n_j} \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \frac{\epsilon }{2} \]
Dunque \( \forall k \geq K \) abbiamo che

\[ \lim \inf_{j \to \infty}\left( \int \left| f_{n_j}- f_{n_k} \right|^p \right)^{1/p} = \lim \inf_{j \to \infty} \begin{Vmatrix} f_{n_{j}} - f_{n_k} \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \epsilon \]

Nel senso che la giustificazione "siccome \(j\) è sufficientemente grande" non è sufficientemente precisa poiché bisogna spezzare il liminf
\[\lim \inf_{j \to \infty} \left( \int \left| f_{n_j}- f_{n_k} \right|^p \right)^{1/p} \]
in \[ \lim_{\ell \to \infty} \inf_{j \geq \ell} \left( \int \left| f_{n_j}- f_{n_k} \right|^p \right)^{1/p} \]
E mi ha fatto l'analogia con
\( a_n= (-1)^n \frac{n}{n+1} \) che il \( \lim \inf_{n \to \infty} a_n = \lim_{n\to \infty} \inf_{m \geq n} a_n \) e \( \inf_{m \geq n} a_n = -1 \) ma non esiste \(n\) tale che \(a_n=-1\).

Sostanzialmente non è un errore nel senso che ha scritto qualcosa di sbagliato ma qualcosa di non sufficientemente preciso. Perché a priori facendo il liminf potrei non prendere mai l'integrale.

Anche se a dir la verità non ho ben capito cosa c'è di non preciso, mi sembra che quella sia la definizione di lim inf... quindi mah...

[3m0o]

Ecco, ho mandato una mail al prof perché ancora non capivo, e non ci sono errori... ho capito male il francese, la parola che lui utilizzava non era errore ma un'altra, che ancora adesso non ho capito come tradurre. Sostanzialmente il suo obbiettivo era questo:
Saper giustificare a fondo frasi come "per \(j\) sufficientemente grande" o "è evidente che" perché è frequente che gli studenti leggendo una dimostrazione fatta in un libro o scritta da un prof ci credono poiché hanno fiducia nell'"autorità" di chi la dice e non perché hanno compreso il motivo al 100%.

Sostanzialmente voleva che giustificavamo che \( \lim \inf_{j \to \infty} \| f_{n_j} - f_{n_k} \|_{L^p} \leq \epsilon \) con allora \( \lim \inf_{j \to \infty} \| f_{n_j} - f_{n_k} \|_{L^p} = \lim_{\ell \to \infty} \inf_{j \geq \ell} \| f_{n_j} - f_{n_k} \|_{L^p} \leq \epsilon \) siccome se \( \ell \geq K \) allora abbiamo che \( \inf_{j \geq \ell} \| f_{n_j} - f_{n_k} \|_{L^p} \leq \| f_{n_{\ell}} - f_{n_k} \|_{L^p} \leq \epsilon \)