Voi riuscite a trovare un errore? Io proprio no, e se lo trovate non ditemelo perfavore ma magari indicatemi solo la "zona" di dov'è situato.
Sia \( - \infty \leq a < b \leq + \infty \) e \( 1 \leq p \leq + \infty \) allora
i) \( (L^p(a,b), \begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix}_{L^p}) \) è completo
ii) Se \( f_n \xrightarrow{L^p} f \) tale che esiste \( (f_{n_k})_k \subseteq (f_n)_n \) tale che \( f_{n_k} \to f \) puntualmente quasi ovunque. In particolare se \( p = + \infty \) allora è la successione intera che converge puntualmente.
L'errore si trova nella dimostrazione del caso 1 ovvero considera \( 1 \leq p < + \infty \)
Non dimostrazione:
Caso 1:
i) Sia \( (f_n)_n \) una successione di Cauchy in \( L^p \).
Step 1.1 Costruzione della sotto-successione.
Utilizzando la definizione di successione di Cauchy abbiamo che per \( k \in \mathbb{N} \) esiste \(N_k \in \mathbb{N}\) tale che \( \forall n,m \geq N_k \) abbiamo che
\[ \begin{Vmatrix} f_n - f_m \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \frac{1}{2^k} \]
Costruiamo \((n_k)_k \) per ricorrenza: \( n_1 = N_1 \) e \(n_{k+1} = \max(N_{k+1},n_k +1 ) \)
in questo modo è garantito che \( \forall k \in \mathbb{N} \) risulta che \( n_{k+1} \geq N_k +1 \geq N_k \) e contemporaneamente \( n_k \geq N_k \) dunque
\[ \begin{Vmatrix} f_{n_{k+1}} - f_{n_k} \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \frac{1}{2^k} \]
Step 1.2 Costruzione del limite
Siano \( g,g_j : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+ \cup \{ + \infty \} \) definite per
\[ g_j(x) = \sum\limits_{k=1}^{j} \left| f_{n_{k+1}}(x) - f_{n_k}(x) \right| \] e
\[ g(x) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \left| f_{n_{k+1}}(x) - f_{n_k}(x) \right| \]
Facciamo notare che la forma \( \infty - \infty \) può apparire solo su un insieme di misura nulla e dunque possiamo cambiare rappresentante della successione dentro \( L^p \) e cambiarla su un insieme di misura nulla.
Abbiamo allora che per Minkowski
\[ \begin{Vmatrix} g_j \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \sum\limits_{k=1}^{j} \begin{Vmatrix} f_{n_{k+1}} - f_{n_k} \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \sum\limits_{k=1}^{j} \frac{1}{2^k} \leq 1 \]
In più abbiamo che \( g_j \uparrow g \) e dunque per crescenza e continuità di \( t \mapsto t^p \) abbiamo che \( g_j^p \uparrow g^p \)
Inoltre per il teorema della convergenza monotona abbiamo che
\[ \int g^p = \int \lim_{j \to \infty } g_j^p = \lim_{j \to \infty} \int g_j^p \leq 1 < + \infty \]
Pertanto \( g^p \in L^1 \) e dunque \( g^p < +\infty \) quasi ovunque il quale implica che \( g < +\infty \) quasi ovunque.
Sia dunque \( N := \{ x \in \mathbb{R} : g(x) =+ \infty \} \) con \( \operatorname{mes}(N) = 0 \) allora per ogni \( x \in \mathbb{R} \setminus N \) abbiamo che la serie
\[ \sum\limits_{k=1}^{\infty} ( f_{n_{k+1}}(x) - f_{n_k}(x) ) \]
converge assolutamente e dunque converge.
Poniamo dunque \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)
\[ f (x) = \left\{\begin{matrix}
f_{n_1}(x) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} ( f_{n_{k+1}}(x) - f_{n_k}(x) ) & \text{se} & x \in \mathbb{R} \setminus N \\
& & \\
\text{un valore arbitrario, altrimenti} & &
\end{matrix}\right. \]
Notiamo che essendo \( \sum\limits_{k=1}^{j} ( f_{n_{k+1}}(x) - f_{n_k}(x) ) \) una somma telescopica allora
\[ f_{n_k} = f_{n_1} +\sum\limits_{k=1}^{k-1} ( f_{n_{k+1}}(x) - f_{n_k}(x) ) = f_{n_1} +f_{n_{k}} - f_{n_1} \]
E pertanto \( f_{n_k} \to f \) puntualmente quasi ovunque.
Step 1.3 Dimostriamo che \( f \in L^p \) e che \( f_{n_k} \xrightarrow{L^p} f \)
Abbiamo che \( \left| f \right|^p \leq ( \left| f_{n_1} \right| + g )^p \) e pervia che \( L^p \) è uno spazio vettoriale abbiamo che \( \left| f_{n_1} \right| + g \in L^p \), detto altrimenti
\[ \int \left| f \right|^p \leq \int ( \left| f_{n_1} \right| + g )^p < + \infty \]
Pertanto deduciamo che \( f \in L^p (a,b) \). Sia ora \( \epsilon > 0 \) e per Cauchy esiste \(M \in \mathbb{N} \) tale che \( \forall n,m \geq M \) abbiamo che
\[ \begin{Vmatrix} f_{n} - f_{m} \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \frac{\epsilon}{2} \] in particolare se \( K \in \mathbb{N} \) è tale che \( n_k \geq M , \forall k \geq K \) allora \( \forall k,j \geq K \) risulta che
\[ \begin{Vmatrix} f_{n_{k}} - f_{n_j} \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \frac{\epsilon }{2} \]
Dunque \( \forall k \geq K \) abbiamo che
(Edit: avevo io dimenticato gli esponenti p)
\[ \begin{Vmatrix} f - f_{n_k} \end{Vmatrix}_{L^p} = \left( \int \left| f- f_{n_k} \right|^p \right)^{1/p} \overset{\text{Converg. punt. quasi ovunque}}{=} \left( \int \lim \inf_{j \to \infty} \left| f_{n_j}- f_{n_k} \right|^p \right)^{1/p} \]
\[ \overset{\text{Fatou}}{\leq} \left(\lim \inf_{j \to \infty} \int \left| f_{n_j}- f_{n_k} \right|^p \right)^{1/p} = \lim \inf_{j \to \infty}\left( \int \left| f_{n_j}- f_{n_k} \right|^p \right)^{1/p} = \lim \inf_{j \to \infty} \begin{Vmatrix} f_{n_{j}} - f_{n_k} \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \epsilon \]
Dunque abbiamo che \( f_{n_k} \xrightarrow{L^p} f \)
Pertanto essendo \( (f_n) \) una successione di Cauchy che ammette una sottosuccessione convergente abbiamo che \( f_n \xrightarrow{L^p } f \).
E questo conclude la dimostrazione del punto i)
Step 1.4 Dimostriamo il punto ii)
Sotto l'ipotesi che \( f_n \xrightarrow{L^p } f \) allora \((f_n)_n \) è di Cauchy. Inoltre per gli step da 1.1 a 1.3 abbiamo che esiste \( (f_{n_k}) \subseteq (f_n) \) e \( \tilde{f} \) (definita come la \(f \) al punto 1.2 ) tale che \( f_{n_k} \to \tilde{f} \) quasi ovunque e \( f_{n_k} \xrightarrow{L^p} \tilde{f} \) pertanto per unicità del limite abbiamo che \( \tilde{f} = f \) quasi ovunque e dunque il risultato è dimostrato.
