funzioni meromorfe

Messaggioda Lebesgue » 16/05/2020, 17:43

(Nel caso questa non sia la sezione più appropriata, nel caso scusatemi e spostatela pure).
Sia data la serie $\sum_{n\ge1} 1/(z^2+n^2)$. Si mostri che la serie è meromorfa su $\mathbb{C}$ e se ne determini l'insieme dei poli.

Per mostrare che la serie è meromorfa su $\mathbb{C}$, mostro che è olomorfa su $\mathbb{C}-S$, dove
$S={\pm ni | n\in\mathbb{N}}$.
In particolare dico che $\forall z\in\mathbb{C}, \forall n\in\mathbb{N}$ si ha $|z^2+n^2|\ge n^2$
Da cui la totale convergenza della serie passando ai moduli (ditemi se tale diseguaglianza è corretta, ho un po' di dubbi a riguardo.
EDIT: penso sia sbagliata, basta prendere $z=i/2$, allora $|n^2+z^2|=n^2-1/4<n^2 $).

Ora vorrei dire che $S$ è proprio l'insieme dei miei poli, infatti è sicuramente discreto, ma non so come dimostrare per bene che quelli sono i poli (semplici) della mia funzione
Ultima modifica di Lebesgue il 17/05/2020, 18:39, modificato 2 volte in totale.
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Re: funzioni meromorfe

Messaggioda pilloeffe » 17/05/2020, 00:47

Ciao Lebesgue,

Potrebbe farti comodo osservare che si ha:

$\text{cotanh}(w) = 1/w + 2w \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(w^2 + (n\pi)^2) $

Posto $w := \pi z $ si ha:

$\text{cotanh}(\pi z) = 1/(\pi z) + 2\pi z \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/((\pi z)^2 + (n\pi)^2) = 1/(\pi z) + (2z)/pi \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(z^2 + n^2) \implies $
$ \implies (\pi z) \text{cotanh}(\pi z) = 1 + 2z^2 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(z^2 + n^2) \implies (\pi z) \text{cotanh}(\pi z) - 1 = 2z^2 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(z^2 + n^2) $

Perciò in definitiva si ha:

$ \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(z^2 + n^2) = (\pi \text{cotanh}(\pi z))/(2z) - 1/(2z^2) $

Naturalmente a determinate condizioni, fra le quali ovviamente $z \ne 0 $ (ma per $z = 0 $ la serie proposta notoriamente converge a $\pi^2/6$)
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Re: funzioni meromorfe

Messaggioda Lebesgue » 17/05/2020, 18:32

pilloeffe ha scritto:Ciao Lebesgue,

Potrebbe farti comodo osservare che si ha:

$\text{cotanh}(w) = 1/w + 2w \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(w^2 + (n\pi)^2) $

Posto $w := \pi z $ si ha:

$\text{cotanh}(\pi z) = 1/(\pi z) + 2\pi z \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/((\pi z)^2 + (n\pi)^2) = 1/(\pi z) + (2z)/pi \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(z^2 + n^2) \implies $
$ \implies (\pi z) \text{cotanh}(\pi z) = 1 + 2z^2 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(z^2 + n^2) \implies (\pi z) \text{cotanh}(\pi z) - 1 = 2z^2 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(z^2 + n^2) $

Perciò in definitiva si ha:

$ \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(z^2 + n^2) = (\pi \text{cotanh}(\pi z))/(2z) - 1/(2z^2) $

Naturalmente a determinate condizioni, fra le quali ovviamente $z \ne 0 $ (ma per $z = 0 $ la serie proposta notoriamente converge a $\pi^2/6$)


grazie mille per la risposta, tuttavia penso che il prof non volesse lo risolvessimo così, ma in qualche modo più teorico (d'altronde penso che quasi nessuno abbia mai visto lo sviluppo in serie della cotangente iperbolica, io almeno mai in più di 3 anni ahah)
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