Heaviside e residui

[vitunurpo]

Ciao a tutti, ho un problema da sottoporvi perché sto davvero andando in confusione.

Devo risolver il seguente integrale con il metodo dei residui (più in generale dovevo trovare la soluzione fondamentale del seguente operatore differenziale
\( \frac{\partial}{\partial t}-a\bigtriangleup -b \)

e, svolgendo l'esercizio, mi ritrovo a questo punto, che coincide con le soluzioni del prof ovvero
$ -i/(2pi)^4 int_(R^3) d^3veck int_(R) e^(iomega t)e^(i veck\cdot vecx) 1/(omega-i(ak^2 -b)) domega $


Successivamente, ho da svolgere l'integrale in $ domega $ usando il calcolo del residui e dato che $ (ak^2-b) $ è una quantità che può essere sia positiva che negativa divido in due casi la soluzione (nel caso in cui stia nel semipiano positivo o negativo). Comincio con $ (ak^2-b)>0 $ e ottengo

$ (theta(t)) /(2pi)^3e^(bt) int_(R^3) e^(i veck cdot vecx) e^(-ak^2 t) theta(ak^2-b) d^3k $

Onestamente, forse mi sto dimenticando dei pezzi di teoria di metodi 1, ma io perché metto quella heaviside di t e di $ (ak^2-b) $ ? Pongo questa domanda perché una volta avevo chiesto lumi a un dottorando e mi aveva risposto che per un teorema dell'analisi complessa dovevo porre la heaviside con argomento positivo o negativo di modo da mandare a 0 l'esponenziale per argomento che va a infinito. Tuttavia questa spiegazione non è molto efficace nel caso di questa soluzione ... Qualcuno può chiarirmi un poco la vicenda?
Grazie

[Masaki]

Dal momento che $t>0$, puoi sostituire l'integrale sull'asse reale con un integrale di linea lungo una semi circonferenza che si chiude nel semipiano superiore $Im(\omega)>0$ (poiché, per il lemma di Jordan, l'integrale sul cerchio esterno si annulla):

\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{i \omega t}}{\omega-i(ak^2 -b)} d \omega = \oint \frac{e^{i \omega t}}{\omega-i(ak^2 -b)} d \omega = 2 \pi i \sum_{k} Res\bigg(\frac{e^{i \omega t}}{\omega-i(ak^2 -b)}, \omega_k\bigg)
\end{equation}

Di conseguenza:

1) se $ak^2-b>0$, il polo $\omega' = i (ak^2-b)$ si trova all'interno del tuo circuito di integrazione (perché ha parte immaginaria positiva) e quindi va considerato nel calcolo dei residui.

2) se $ak^2-b<0$, il polo $\omega' = i (ak^2-b)$ si trova all'esterno del percorso di integrazione (perché ha parte immaginaria negativa) e quindi, essendo la funzione analitica nella porzione di piano complesso interessata, tale integrale risulta essere nullo.

Riassumendo l'integrale diventa:

\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{i \omega t}}{\omega-i(ak^2 -b)} d \omega = 2\pi i \theta(ak^2-b) \exp\big(- ak^2 + b \big)
\end{equation}

Comunque, un modo più comodo per calcolare quella soluzione fondamentale è quello di trasformare solamente in $x$ e calcolare la soluzione del problema di Cauchy:

\begin{equation}
\begin{cases}
\frac{\partial \hat{u}(k,t)}{\partial t} - (ak^2 +b) \hat{u}(k,t) = 0\\
\hat{u}(k,0) = 1
\end{cases}
\end{equation}

Moltiplicando tale soluzione per la $\theta(t)$, si ottiene la soluzione del problema (come puoi verificare facilmente):

\begin{equation}
\frac{\partial \hat{u}(k,t)}{\partial t} - (ak^2 +b) \hat{u}(k,t) = \delta(t)\\
\end{equation}

Antitrasformando la soluzione $\hat{u}$ in $k$, ottieni la soluzione fondamentale che ti serve.