Ho un dubbio riguardo questa funzione, ma non sul risultato che è abbastanza banale, quanto più su un passaggio specifico. Scusate la prolissità e qualche passaggio in più, ma voglio essere sicuro di spiegarmi bene. Devo valutare il tipo di singolarità in $z=0$ della funzione:
$f(z) = z/(e^z-1)$
Posso utilizzare lo sviluppo $e^z = sum_[n=0]^(+oo) (z^n)/(n!)=1+z+z^2/2+z^3/6+...$ e quindi ottengo:
$f(z) = z* 1/([1+z+z^2/2+o(|z|^2)]-1) = 1/(1+z/2+o(|z|)) = 1/(1-[-z/2+o(|z|)]) $
Quindi se chiamo (*)$w = [-z/2+o(|z|)] $, e sapendo che $sum_[n=0]^(+oo)w^n = 1/(1-w)$ per $|w|<1$ posso scrivere:
(*)$f(z) = 1 + (-z/2+o(|z|)) + (-z/2+o(|z|))^2 + ... = 1 -z/2 + o(|z|)$
Quindi $Res_f(0) = 0$, e allora abbiamo una singolarità eliminabile.
Il mio dubbio stà nei due passaggi che ho segnato con *. Questa sostituzione posso applicarla solo perchè $wrarr0$ per $zrarr0$ o potrei farlo anche se $w$ tendesse ad un valore complesso qualsiasi (o anche $oo$).
P.S. posso dire che l'insieme di convergenza è $|z|<2$ ?