Risoluzione integrale con polinomi di Laguerre

[Gabriele Pagnanelli]

Salve, sono alle prese con lo studio riguardante transizioni fra stati elettronici molecolari in potenziali di Morse cercando di calcolare i Fattori di Franck-Condon in via analitica. Premettendo che non sono del tutto sicuro del risultato a cui sono arrivato volevo chiedervi aiuto per la risoluzione di tale integrale in modo da poter avere una formula facilmente programmabile.

\(\displaystyle \int_0^\infty e^{-(x/2)(1+e^{\beta'd})} x^{(1/2)(a+a')} L^{a}_{n}(x) L^{a'}_{n'}(xe^{\beta'd)} dx\)

dove \(\displaystyle x= C e^{-\beta(r-r_{e})} \) e gli \(\displaystyle L^{a}_{n}(x) \)sono i polinomi di Laguerre generalizzati. Sono arrivato a questo integrale partendo dalle autofunzioni del potenziale di Morse e andando a calcolare l'integrale di sovrapposizione fra due di queste aventi parametri diversi \(\displaystyle a, a', \beta, \beta', n, n', x, x', r_{e}, r_{e}', C, C'\) e sapendo che \(\displaystyle r_{e}- r_{e}'=d\) da cui, effettuando la sostituzione, sono arrivato al risultato di sopra. Ho trovato testi poco chiari che risolvono sfruttando funzione gamma di Eulero e la equazione ipergeometrica confluente (entrambe facilmente programmabili) ma seguono percorsi molto diversi da quello da me intrapreso. Qualsiasi consiglio sulla risoluzione o su strade più percorribili è ben accetto. Grazie in anticipo.

[Gabriele Pagnanelli]

Salve, vi chiedo aiuto nella risoluzione di questo integrale:

\(\displaystyle \int_0^\infty e^{-\frac{x}{2}(1+e^{\beta'd})} x^{\frac{1}{2}(a+a')} L^{a}_{n}(x) L^{a'}_{n'}(xe^{\beta'd}) dx \)

con \(\displaystyle L^{a}_{n}(x) \) polinomi di laguerre generalizzati. Un risultato a un integrale simile è stato trovato sfruttando la funzione Gamma e quella ipergeometrica confluente. Grazie in anticipo.

[pilloeffe]

Ciao Gabriele Pagnanelli,

Se non ho visto male data l'ora, ci si può ricondurre all'integrale dell'equazione (3.2) qui.

[Gabriele Pagnanelli]

Si penso sia perfetta per il mio caso. Giusto per conferma la F2 nella (3.2) sarebbe la funzione di Appell giusto?

[pilloeffe]

Sì. C'è scritto in alto alla stessa pagina 26 dove compare l'equazione (3.2): Appell's function $F_2 $ [8, p. 53]

[Gabriele Pagnanelli]

Grazie mille mi ha salvato!