Non riesco a dimostrare questo teorema riguardante l'approssimazione lineare in uno spazio normato.
Siano \( \displaystyle v_1, v_2, ... , v_n \in S \) linearmente indipendenti., S spazio normato di dimensione infinita, \( \displaystyle n \in \mathbb{N} \)
Sia \( \displaystyle V := \{v \in S \mid v= \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + ... + \lambda_n v_n\}, \lambda_1, \lambda_2, ... , \lambda_n \in \mathbb{R} \)
Sia \( \displaystyle \Phi(\lambda_1, \lambda_2, ... , \lambda_n) := || x- v || = \left \| x- \sum_{k=1}^{n} \lambda_k v_k \right \|, x \in S \setminus V, v \in V \)
Sia \( \displaystyle \mu_n(x) := \underset{\lambda_1, ... ,\lambda_n}{\min} \Phi(\lambda_1, ... , \lambda_n) \) (questo minimo esiste per il teorema di esistenza dell'approssimazione ottima e inoltre è unico per il teorema dell'unicità dell'approssimazione ottima se S è uno spazio normato in senso forte secondo Kreĭn)
Sia \( \displaystyle m(x) := \lim_{n\rightarrow \infty}\mu_n(x) \geq 0 \) (questo limite esiste sempre non negativo in quanto come conseguenza dei teoremi di esistenza e unicità dell'approssimazione ottima si ha che \( \displaystyle 0 \leq \mu_{n+1}(x) \leq \mu_{n}(x), \forall n \in \mathbb{N} \) )
Sia infine \( \displaystyle \{v_k\}_{k \in \mathbb{N}} \) un sistema di vettori tale che \( \displaystyle v_1, v_2, ... , v_n \in V \) siano linearmente indipendenti \( \displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \)
\( \displaystyle \Longrightarrow \)
Condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema di vettori \( \displaystyle \{v_k\}_{k \in \mathbb{N}} \) sia completo è che risulti \( \displaystyle m(x)=0, \forall x \in S \)
Il libro afferma che la dimostrazione di questo teorema segue facilmente e quindi non la riporta, ma non capisco come dimostrarlo.
Per completezza do anche la definizione di sistema completo:
Un sistema di vettori \( \displaystyle \{v_k\}_{k \in \mathbb{N}} \) tale che \( \displaystyle v_1, v_2, ... , v_n \in V \) siano linearmente indipendenti \( \displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \) si dice completo \( \displaystyle :\Leftrightarrow \forall x \in S, \forall \epsilon > 0 \text{ } \exists n=n(\epsilon), \lambda_1, \lambda_2, ... , \lambda_n \in \mathbb{R}: \left \| x- \sum_{k=1}^{n} \lambda_k v_k \right \| < \epsilon \)
Grazie per l'attenzione
