Salve a tutti
Sto cercando un esempio come nel titolo e so da un teorema che il posto giusto dove andare a cercarlo è in uno spazio normato non completo. Dunque $\mathbb{Q}$ si presta benissimo.
Dopo un po' di ricerca in rete ho trovato un modo per costruire questo esempio ma il problema è che non sto riuscendo a metterlo in pratica. (L'esempio si trova qui https://math.stackexchange.com/question ... -sequences).
Qui si dice fondamentalmente che se prendo due numeri reali $a>0$, $b<0$ in modo che $a+b\notin\mathbb{Q}$ ed $a-b=1$ (perchè?) allora posso costruire la serie da me cercata "combinando" la serie a termini positivi che somma ad $a$ con la serie a termini negativi che somma a $b$.
Questo si può fare senza pericolo di riarrangiamenti (che normalmente cambierebbero la somma) perchè la serie combinata risulterebbe assolutamente convergente.
Domanda: Se pongo $a=1-\frac{1}{\sqrt{2}}$ e $b=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ come ottengo le serie cercate?
L'unica cosa che so (e forse che serve) è che posso usare il teorema di Riemann-Dini applicato alla serie $\sum\frac{(-1)^n}{n}$. Cioè esistono due suoi riarrangiamenti che mi danno una serie con termini $a_n$ che converge ad $a$ ed una serie con termini $b_n$ che converge a $b$. Da qui non saprei continuare però. Come faccio a dire che la serie combinata ottenuta da queste è assolutamente convergente ad 1? (Come uso $a-b=1$?). Poi credo che una volta detto questo e sapendo che le due serie singolarmente convergono per costruzione, la somma della serie combinata tenderà ad $a+b$ che si è costruito irrazionale.
Grazie in anticipo a chi mi aiuterà