è molto tempo che non uso gli integrali complessi e sto dimenticando parecchie cose, così quando mi sono imbattuto nel seguente integrale che sembra molto facile ho scoperto
di non ricordarmi come si risolve.$\int_{x_0-i\infty}^{x_0+i\infty} e^{xz}dz=2i\pi \delta (x)$
Potreste darmi una mano ?
Avevo pensato che:
Considerando una curva $\gamma={z: z=x_0+it,$ con $t \in (-\infty ,\infty)}$ allora $\int_{\gamma} e^{xz}dz=\int_{-\infty}^{\infty} e^{x x_0}e^{ixt} (i dt)=2i\pi\delta(x)e^{x x_0}$
Ma dato che sotto il segno di integrale $\delta(x)e^{x x_0}$ e $\delta(x)$ danno lo stesso risultato posso togliere $e^{x x_0}$.
Tutto sommato quindi il risultato mi pare abbia senso, ma volevo vedere se c'era un modo di ottenere il risultato con il quale $e^{x x_0}$ non comparisse.
Ricordando che spesso usavo il trucco di sfruttare il Teorema di Cauchy con un contorno chiuso avevo pensato di prendere un rettangolo di lati:
$L_1={z: z=-iR+t,$ con $ t \in (0,x_0)}$
$L_2={z: z=x_0+it,$ con $ t \in (-R,R)}$
$L_3={z: z=iR+t,$ con $ t \in (x_0,0)}$
$L_4={z: z=it,$ con $ t \in (R,-R)}$
Speravo nel fatto che al limite per $R->\infty$ gli integrali sui due lati orizzontali $L_1$ ed $L_4$ sarebbero spariti in qualche maniera, ma i conti non tornano
Dove sto sbagliando??
