Intanto grazie ancora, mi stai aiutando a capire molto meglio il problema. E scusa se ti riempio di domande ma vorrei capire davvero bene questo esercizio per preparare l'esame.
dissonance ha scritto:Qui puoi rispondere da solo con facilità. La stima sulla derivata è su tutto \(\mathbb R\).
Si questa era più una domanda retorica (si verifica banalmente con il teorema del valor medio).
dissonance ha scritto:No no no. Attenzione. Il tuo operatore mappa \(C^0_0(\mathbb R)\) in sé stesso. Devi quindi dimostrare che, presa una successione \(f_n\in C^0_0(\mathbb R)\) limitata, \(Tf_n(\mathbb R)\) ha una estratta convergente nello spazio \(C^0_0(\mathbb R)\). La convergenza deve essere nel senso di questo spazio, non puoi restringere a compatti.
Ok, su questo ci sono. Visto che la norma su $C_0^0(\mathbb{R})$ è quella uniforme (del sup), la convergenza in questo spazio è la convergenza uniforme su tutto $\mathbb{R}$. Il fatto è che se ho capito bene la condizione ulteriore per Arzelà-Ascoli in casi come questo è che la successione di funzioni si "annulli uniformemente all'infinito", cosa che mi permette di considerare la mia successione appunto solo su un compatto, per poter applicare la versione "standard" di A-A.
In sostanza qualcosa di simile al Thm 5 in [1], che è una versione un po' più generale, per uno spazio $X$ localmente compatto, (la dimostrazione passa per il compattificato di $X$).
Ora, mi sembra che nel mio caso questa condizione (annullamento all'infinito) sia trivialmente verificata, visto che per ogni $n$ il supporto di $Tf_n$ è contenuto nel supporto di $\phi$. Quindi quello che pensavo di fare, per mettere insieme prima e seconda parte, è considerare la restrizione della successione al supporto di $\phi$, sul quale posso applicare A-A in versione standard in quanto compatto, estrarre una sottosuccessione convergente e banalmente estenderla con valore $0$ al di fuori. In questo modo mi sembra che la convergenza della sottosuccessione (estesa su tutto $\mathbb{R}$) dovrebbe essere uniforme, visto che al di fuori dal supporto di $\phi$ tutte le $Tf_n$ sono nulle, e dentro il supporto di $\phi$ la convergenza uniforme me la dà A-A. Può funzionare un approccio del genere?
[1] :
https://arxiv.org/pdf/1801.01898.pdf
