Buonasera,
Ho qualche difficoltà nel risolvere il seguente esercizio sulla compattezza di un operatore tra spazi di funzioni, definito mediante convoluzione.
Sia $C_0^0(\mathbb{R}) = \{f \in C^0(\mathbb{R}) : \lim_{|x| \to \infty} f(x) = 0\}$ munito della norma del sup. Sia $\phi \in C_0^\infty(\mathbb{R})$ una funzione infinitamente differenziabile a supporto compatto.
Definiamo, per ogni $f \in C_0^0(\mathbb{R})$ e per ogni $x \in \mathbb{R}$,
$$(Tf)(x) = \phi(x) \cdot (f \ast \phi)(x)$$
Dove $\ast$ rappresenta l'usuale convoluzione: $(f \ast \phi)(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x-y)\phi(y) dy$.
Devo dimostrare che $T$ è un operatore compatto. Presa una successione $\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset C_0^0(\mathbb{R})$, devo quindi mostrare che la sua immagine $\{Tf_n}_{n \in \mathbb{N}}$ ammette una sottosuccessione convergente.
Mi è stato dato come indizio l'idea di verificare che la successione delle immagini soddisfa ipotesi molto simili a quelle del teorema di Ascoli-Arzelà, per poi ottenere il risultato adattando un minimo la sua dimostrazione.
L'uniforme limitatezza della successione mi sembra abbastanza facile da verificare, visto che tutte le funzioni in gioco sono in qualche modo limitate. Ho invece più difficoltà nel verificare l'uniforme equicontinuità. Qualcuno saprebbe darmi una mano?
Inoltre, ammettendo che la successione sia uniformemente equicontinua, come faccio a concludere? Per Ascoli-Arzelà le funzioni devono essere definite su un compatto. Immagino che posso sfruttare il fatto che in questo caso le funzioni sono a supporto compatto, ma non saprei bene come procedere. Qualche indizio?