Data la funzione complessa di variabile complessa
$ f(z)=\frac{1}{\sqrt(z)-1} $
1) Determinare e caratterizzare i punti di non analiticità
$ f(z)=\frac{1}{\sqrt(z)-1}=\frac{1}{\sqrt(z)-1}\frac{\sqrt(z)+1}{\sqrt(z)+1}=\frac{\sqrt(z)+1}{z-1} $
La funzione ha una singolarità polare in $z=1$, infatti
$ lim_(z -> 1)\frac{\sqrt(z)+1}{z-1}=\infty $
Tale polo è semplice perchè annulla una volta il denominatore (ma non contemporaneamente il numeratore)
La funzione ha un punto di diramazione in $z=0$
2) Si calcoli l'integrale della funzione lungo un circonferenza di raggio $R$ centrata nel punto $z=1$, considerando separatamente i casi $R<1$ e $R>1$
Caso $R<1$
Il punto di diramazione è esterno alla curva, il polo interno ad essa. Per il teorema dei residui:
$ oint_(C_R(1))f(z)dz= 2\piilim_(z -> 1) \sqrt(z)+1=4\pii $
Caso $R<1$
Sia il punto di diramazione che il polo sono interni. Se opero il taglio che parte da $z=0$ e si estende su tutto il semiasse reale negativo e costruisco il solito "pacman" eliminando il punto di diramazione (come in foto allegata), non otterrei lo stesso risultato di prima?
Grazie