Integrale lungo i tagli

[TS778LB]

Data la funzione complessa di variabile complessa
$ f(z)=\frac{1}{\sqrt(z)-1} $

1) Determinare e caratterizzare i punti di non analiticità
$ f(z)=\frac{1}{\sqrt(z)-1}=\frac{1}{\sqrt(z)-1}\frac{\sqrt(z)+1}{\sqrt(z)+1}=\frac{\sqrt(z)+1}{z-1} $
La funzione ha una singolarità polare in $z=1$, infatti
$ lim_(z -> 1)\frac{\sqrt(z)+1}{z-1}=\infty $
Tale polo è semplice perchè annulla una volta il denominatore (ma non contemporaneamente il numeratore)
La funzione ha un punto di diramazione in $z=0$

2) Si calcoli l'integrale della funzione lungo un circonferenza di raggio $R$ centrata nel punto $z=1$, considerando separatamente i casi $R<1$ e $R>1$

Caso $R<1$
Il punto di diramazione è esterno alla curva, il polo interno ad essa. Per il teorema dei residui:
$ oint_(C_R(1))f(z)dz= 2\piilim_(z -> 1) \sqrt(z)+1=4\pii $

Caso $R<1$
Sia il punto di diramazione che il polo sono interni. Se opero il taglio che parte da $z=0$ e si estende su tutto il semiasse reale negativo e costruisco il solito "pacman" eliminando il punto di diramazione (come in foto allegata), non otterrei lo stesso risultato di prima?

Grazie

[ingres]

Provo a darti una risposta. L'integrale ha 4 percorsi:
1) circonferenza grande di raggio $R$
2) da crf grande a crf piccola ovvero da $-R+i0$ a $-epsilon+i0$
3) circonferenza piccola di raggio $epsilon$
4) da crf piccola a crf grande ovvero da $-epsilon + i0$ a $-R+i0$

Il solo residuo è in z=1 e quindi la somma dei 4 integrali vale $4 pi i$ come prima. Passando al limite per $epsilon to 0$, dovrebbe annullarsi l'integrale 3 (da verificare).

Gli integrali 2 e 4 risultano rispettivamente:
$int_(-R)^(-epsilon) dx/(sqrt(x)-1)$
$int_(-epsilon)^(-R) dx/(sqrt(x e^(2 pi i))-1)$

dove in 4) usiamo $z=xe^(2 pi i)$in quanto l'argomento di z varia di $2pi$ girando attorno al punto di diramazione. La somma di questi 2 integrali non mi risulta nulla (da verificare!) e questo porta ad un risultato diverso dal precedente.
Guarda se effettivamente l'analisi sopra ti torna e se ti da il risultato corretto.