[Analisi Complessa]: Esercizio sulle funzioni armoniche

[CallistoBello]

Traccia: Sia $u(x,y)=x^2+2xy-y^2$,
Determinare una funzione OLOMORFA di cui u(x,y) è la PARTE REALE

Ho svolto il seguente esercizio in due modi che però portano a due risultati differenti.
Vorrei sapere quale tra i due è quello corretto.

[metodo del libro]
1. Verifico se u(x,y) soddisfa l'EQ. di LAPLACE
$ (partial u)/(partial x)=2x+2y , (partialu)/(partial y)=-2y+2x $
$ (partial^2u)/(partialx^2) =2, (partial^2u)/(partialy^2)=-2 $
dunque: $ (partial^2u)/(partialx^2)+(partial^2u)/(partialy^2)=0---> u(x,y) è ARMONICA$

2. Conoscendo la $u(x,y)$ risaliamo alla corrispettiva $v(x,y)$
In particolare, per le condizioni di C-R, si ha che:
$dv=(partialv)/(partial x) dx + (partial v)/(partial y)dy= -(partial u)/(partial y)dx+(partial u)/(partial x)dy= (2y-2x)dx+(2x+2y)dy$

3.Scelto un punto $(x_0,y_0)$ ad es. (0,0) , INTEGRIAMO su UNA SPEZZATA formata dai segmenti di estremi :$(x_0,y_0)$,$(x,y_0)$ e di estremi $(x,y_0)$$(x,y)$
ottenendo:

$ int_(z_0)^(z) dv =int_(x_0)^(x)(2y-2x) dx + int_(y_0)^(y) (2x+2y) dy $
e cioè
$ v(x,y)-v(0,0)=2yx-x^2+2xy+y^2 $
dove $v(0,0)=k$ con $k in $ \( \Re \)

Risultato: $v(x,y)=-x^2+4xy+y^2+k$
dunque: $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)= x^2+2xy-y+i(-x^2+4xy+y^2+k)$

[metodo "ad intuito"]
In pratica: questo metodo consiste nell'arrivare, tramite più tentativi, alla funzione complessa che ha parte reale u(x,y) indicata dalla traccia

1° Tentativo: $z^2= (x+iy)^2=x^2+2ixy-y^2$
Notiamo che: ad eccezione del termine centrale , abbiamo ricostruito la nostra parte reale

2°Tentativo: ho bisogno di sommare a quella funzione una funzione in cui sia presente il termine: 2xy
Questa funzione la ottengo moltiplicando PER $i$ l'espressione della funzione "vicina" alla parte reale
cioè ci rendiamo conto che:
$-iz^2=-ix^2+2xy+iy^2$

Risultato: La funzione che stiamo cercando è:
$f(z)=z^2-iz^2= x^2-y^2+2xy+i(-x^2+2xy+y^2)$

[ingres]

E' sbagliato il primo calcolo, perchè non soddisfa le condizioni di Cauchy-Riemann.
L'errore è che nel pezzo iniziale di integrazione devi variare x tenendo $y=y_0=0$

[CallistoBello]

ok ,quindi:
devo VALUTARE le due funzioni derivata parziale , rispettivamente:
-sui Punti della Curva:1°Segmento\Segmento Orizzontale, che sono della forma: $(t,y_0)$, con $t in [x_0,x] $
-sui Punti della Curva:2°Segmento\Segmento Verticale, che sono della forma: $(x,t)$, con $t in [y_0,y] $

Ottenendo:
$v(x,y) -k = int_(x_0)^(x)(2y_0-2t)dt+ int_(y_0)^(y)(2x+2t)dt $
$= -x^2+2xy+y^2$

Risultato: $f(z)=x^2+2xy-y+i(-x^2+2xy+y^2+k)$

Cioè a meno di quella costante $k$ , ho ottenuto lo stesso risultato del metodo "a tentativi"

Corretto?

[ingres]

Corretto.
Quanto alla costante k visto che sarebbe il valore a (0,0) puoi metterla a zero oppure inserirla anche in quella del secondo metodo così da avere la perfetta uguaglianza.

[CallistoBello]

Onde evitare il 1° metodo che potrebbe portarmi a commettere errori , ho trovato sul web un 3° metodo che sfrutta l'integrazione di 1 variabile.
Tuttavia, ho un dubbio sulla correttezza formale di uno degli step.

[metodo con integrazione indefinita]
1. Verifico che la funzione $u(x,y)$ è una funzione armonica
2. Dopodiché , quello che possiamo fare è :
"trovare due espressioni equivalenti della $v(x,y)$ a partire da ogni singola EQUAZIONE di C-R "
Nello specifico:

$ (partial v)/(partialx)=-(partialu)/(partialy)=-2x+2y ->v(x,y)=-x^2+2xy+g(y) $
$ (partial v)/(partialy)=(partialu)/(partialx)=2x+2y ->v(x,y)=-y^2+2xy+g(x) $

3.Al fine di trovare chi sono la g(y) e la g(x) , Uguagliamo le due espressioni equivalenti trovate per la v(x,y), ottenendo che:
$-x^2+2xy+g(y)=y^2+2xy+g(x)$
$-x^2-g(x)=y^2-g(y)$

Portiamo tutte le funzioni della x al membro di sinistra e tutte le funzione della y al membro di destra, quindi:
$x^2+g(x)=-y^2+g(y)$
Uguaglianza che si verifica soltanto quando queste due somme sono entrambe pari ad una stessa costante k, cioè quando:
$x^2+g(x)=-y^2+g(y)=k$, con k reale.

Catena di uguaglianze , che possiamo scindere in:
-una 1° uguaglianza: $x^2+g(x)=k$ da cui si ha che $ g(x)=-x^2+k$
-una 2° uguaglianza: $-y^2+g(y)=k$ da cui si ha che $g(y)=y^2+k$

4. a questo punto , dato che le due v(x,y) trovate in precedenza sono equivalenti , possiamo scegliere:
- o di esplicitare la g(y) e quindi di utilizzare la 1° espressione di v(x,y)
- oppure di esplicitare la g(x) e quindi di utilizzare la 2° espressione di v(x,y)
In entrambi i casi, si otterrà che:

$v(x,y)=-x^2+2xy+y^2+k$

Col risultato che: $ f(z)= x^2-y^2+2xy+i(-x^2+2xy+y^2) $

DUBBIO nello STEP3.:Per passare alla destra del simbolo di implicazione, quello che si è fatto è stato rispettivamente:
- Integrare entrambi i membri di quell'equazione rispetto ad x
- Integrare entrambi i membri di quell'equazione rispetto ad y
E cioè abbiamo fatto:
$ int (partial v)/(partialx) dx = int(-2x+2y)dx $
dove :
$ int (partial v)/(partialx) dx = v(x,y) - g(y)$
quindi si ha che:
$v(x,y)= int(-2x+2y) dx +g(y) = -x^2+2xy+g(y)$

In pratica: non so se sia corretta questa scrittura: $ int (partial v)/(partialx) dx = v(x,y) - g(y)$

[ingres]

La scrittura magari potrebbe essere vista da qualcuno come un leggero abuso di notazione, ma è sostanzialmente corretta in quanto si cerca una primitiva in x di una f(x,y) con y parametro (il fatto che la f(x,y) sia stata ottenuta da una derivata parziale non interessa in questa ottica).
E puoi anche evitare di vederlo come un integrale definito, ma come semplice problema di trovare la primitiva in x. Questa sarà calcolata a meno di una costante che possiamo riguardare in generale come funzione g(y) essendo y inteso come parametro costante in questo calcolo.

[Mephlip]

Moderatore: Mephlip

CallistoBello, gli argomenti riguardanti le funzioni di variabile complessa appartengono alla sezione "Analisi Superiore"; pertanto, d'ora in avanti, ti chiedo di postare lì questo tipo di domande. La dicitura "Numeri complessi" in "Analisi Matematica di Base" si riferisce ad argomenti più elementari, come: equazioni in $\mathbb{C}$, calcolo di potenze e radici di numeri complessi, eccetera. Grazie.