Sviluppo in serie esponenziale di Fourier

[Leila01]

Buonasera, mi servirebbe un aiuto per risolvere un esercizio sullo sviluppo esponenziale di Fourier. Il testo richiedeva di trovare lo sviluppo di Fourier della funzione cosh(x) per -π<x<π e l'ho fatto e torna
$$\frac{\sinh(\pi)}{\pi}\sum_{-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^n e^{(inx)}}{1+n^2}$$.

Poi chiede di utilizzare l'identità di Parseval per verificare che $$\sum_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(1+n^2)^2}=\frac{\pi }{2}(\frac{\pi }{\sinh^2(\pi)}+\frac{\cosh(\pi)}{\sinh(\pi)})$$.

Il problema è che a me torna $$\sum_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(1+n^2)^2}=\frac{\pi }{4\sinh^2(\pi)}+\frac{\cosh(\pi)}{4\sinh(\pi)}\\$$
Nonostante io usi la formula di Parseval per la base esponenziale $$\int_ {-\pi}^{+\pi }\left| \cosh(x)\right|^2dx=2\pi \sum_{-\infty}^{\infty} \left|Cn \right|^2\\ $$
e quindi $$\int_ {-\pi}^{+\pi }\left| \cosh(x)\right|^2dx= \pi +\sinh(\pi )\cosh(\pi )\\
2\pi \sum_{-\infty}^{\infty} \left|Cn \right|^2=\sum_{-\infty}^{\infty} \frac{4\sinh^2(\pi)}{(1+n^2)^2}\\$$.

Sto usando una formula sbagliata? Non capisco perché ottengo un risultato diverso
Grazie in anticipo a chi volesse aiutarmi

Moderatore: dissonance

Formule corrette, grazie Quinzio.

[Quinzio]

Buonasera, mi servirebbe un aiuto per risolvere un esercizio sullo sviluppo esponenziale di Fourier. Il testo richiedeva di trovare lo sviluppo di Fourier della funzione cosh(x) per -π<x<π e l'ho fatto e torna
$$\frac{\sinh(\pi)}{\pi}\sum_{-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^n e^{(inx)}}{1+n^2}$$.

Poi chiede di utilizzare l'identità di Parseval per verificare che $$\sum_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(1+n^2)^2}=\frac{\pi }{2}(\frac{\pi }{\sinh^2(\pi)}+\frac{\cosh(\pi)}{\sinh(\pi)})$$.

Il problema è che a me torna $$\sum_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(1+n^2)^2}=\frac{\pi }{4\sinh^2(\pi)}+\frac{\cosh(\pi)}{4\sinh(\pi)}\\$$
Nonostante io usi la formula di Parseval per la base esponenziale $$\int_ {-\pi}^{+\pi }\left| \cosh(x)\right|^2dx=2\pi \sum_{-\infty}^{\infty} \left|Cn \right|^2\\ $$
e quindi $$\int_ {-\pi}^{+\pi }\left| \cosh(x)\right|^2dx= \pi +\sinh(\pi )\cosh(\pi )\\
2\pi \sum_{-\infty}^{\infty} \left|Cn \right|^2=\sum_{-\infty}^{\infty} \frac{4\sinh^2(\pi)}{(1+n^2)^2}\\$$.

Sto usando una formula sbagliata? Non capisco perché ottengo un risultato diverso
Grazie in anticipo a chi volesse aiutarmi

[pilloeffe]

Ciao Leila01,

Dovresti inserire i simboli di

Codice:

$

o

Codice:

[tex][/tex]

altrimenti il messaggio risulta praticamente illeggibile (è diventato leggibile solo grazie al provvidenziale intervento di Quinzio che ringrazio).
Scriviamo per bene:

$cosh(x) = \frac{\sinh(\pi)}{\pi}\cdot \sum_{n = -\infty}^{+\infty}\frac{(-1)^n e^{i n x}}{1+n^2} = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} c_n e^{i n x} $

per $-\pi < x < \pi $, con $c_n := \frac{\sinh(\pi)}{\pi} \cdot \frac{(-1)^n}{1+n^2} $

Per l'identità di Parseval si ha:

$ \sum_{n = -\infty}^{+\infty} |c_n |^2 = 1/(2\pi) \int_{-\pi}^{+\pi} |\cosh(x)|^2 \text{d}x $

Nel caso in esame diventa:

$ \frac{\sinh^2(\pi)}{\pi^2} \cdot \sum_{n = -\infty}^{+\infty} \frac{1}{(1+n^2)^2} = 1/(2\pi)[\pi + \sinh(\pi)\cosh(\pi)] $

$ \sinh^2(\pi) \cdot \sum_{n = -\infty}^{+\infty} \frac{1}{(1+n^2)^2} = (\pi)/(2)[\pi + \sinh(\pi)\cosh(\pi)] $

$ \sum_{n = -\infty}^{+\infty} \frac{1}{(1+n^2)^2} = (\pi)/(2)[(\pi)/(\sinh^2(\pi)) + (\cosh(\pi))/(\sinh(\pi))] $

[Leila01]

Scusate se ho pubblicato male il messaggio ma non sono molto pratica di LateX e il programma che stavo usando per controllarlo me lo visualizzava correttamente.
Comunque grazie mille della risposta, mi avete fatto capire che stavo usando una formula errata per Cn