[Analisi Complessa] Funzione armonica con parametro

[CallistoBello]

TRACCIA: determinare per quali valori del Parametro $ alpha in R $ , la funzione :
$u(x,y)=cosx(e^(alphay)+e^-y)$
è la PARTE REALE di una funzione olomorfa f(z) . E poi trovare tali funzioni f(z).
Problemi da me riscontrati:
L'esercizio in sé sono riuscito a farlo, ma ho dovuto apportare delle modifiche alla risoluzione fornita
dall'eserciziario , in quanto in alcuni STEP ho avuto risultati discordanti.


STEP1. Verifico per quali valori di $alpha$ la funzione $u(x,y)$ è una funzione armonica


$(partial^2 u)/(partial^2x)+(partial^2 u)/(partial^2y)=e^((alpha)y)((alpha)^2-1)cosx=0$
da cui si ha che $alpha=+-1$

STEP2- Trovare la $v(x,y)$ a partire dalla $u(x,y)$

Qui cominciano i problemi perché il libro suggerisce di trovare l'espressione di f(z) in termini del PARAMETRO $alpha$ e poi una volta sostituire $alpha=1$ ed una volta sostituire $alpha=-1$
Nel mio caso invece, sono stato costretto a rieseguire lo stesso ragionamento per ben due volte , sostituendo a monte delle EQUAZIONI C-R e della v(x,y) una volta $alpha=1$ ed una volta $alpha=-1$

Per le EQUAZIONI C-R si ha che:
$v_x=-u_y=-cosx (alphae^(alphay) -e^-y) rArr v(x,y) =-sinx(alphae^(alphay)-e^-y)+g(y)$ <--A)
$v_y=u_x=-sinx (alphae^(alphay) +e^-y) rArr v(x,y)=-sinx(e^(alphay)/alpha -e^-y)+g(x)$<--B)
dove le due $v(x,y)$ sono ottenute Integrando
-la 1° equazione C-R rispetto ad x
-la 2° equazione C-R rispetto ad y

Ora, qui il testo mi dice che: ragionando in modo analogo all'esercizio guida, dovrei avere :
$v(x,y)=-sinx (alphae^(alphay)-e^-y)+k$ con $k in R$<--C)

Nell'esercizio guida mi si diceva che:
1. le due v(x,y) dovevano essere uguali a meno di una costante, cioè:
$-sinx(alphae^(alphay)-e^-y)+g(y)=-sinx(e^(alphay)/alpha -e^-y)+g(x)=k$<--D)
2.da qui ,dovrei avere che "i termini misti" (quelli in cui compaiono sia la x che la y) si annullano a vicenda,
e che al membro di sx posso portare la g(x) con tutti i termini nella SOLA x ed al membro di dx posso portare la g(y) con tutti i termini nella y.

Qui mi blocco

Problema: non riesco , a partire dal punto D), a trovare quella g(y) e quella g(x) TALI CHE sostituite in A) ed in B)
mi rendono A)=B)=C)

[ingres]

Eviterei di chiamare entrambe g(x) e g(y). In linea di principio non è detto che sia la stessa funzione. Ammettiamo che la seconda sia h(y).

Ti direi anche che devi per forza usare $alpha=+-1$, o meglio che $alpha=1/alpha$ . Quindi la funzione è armonica, sono soddisfatte le funzioni di C-R e nella D) se ne vanno tutti i termini con x e y, rimanendo solo g(x) = h(y), che può essere soddisfatta solo e solo se g(x) = h(y)=k costante. E quindi A) = B) = C) ma beninteso con $alpha=+-1$

[CallistoBello]

Ok, quindi sono costretto a fissare $alpha$ prima di potermi trovare la $v(x,y)$

Ragionare in termini di generico parametro e poi sostituire alla f(z) $alpha=1$ ed $alpha=-1$ mi avrebbe fatto risparmiare tempo (in termini di esame scritto).

Ma, suppongo non ci siano alternative visto che, anche con un esercizio analogo in cui $u(x,y)=sinx(e^-(alphay)+e^y)$ , mi becco lo stesso problema

[ingres]

Se è utile per risparmiare tempo, puoi anche lasciare $alpha$ generico, ma tenendo conto, quando ti serve, che $alpha = 1/alpha$.

[CallistoBello]

Non credo di aver afferrato questo suggerimento.
Cioè se fisso $alpha=1$ oppure $alpha=-1$ , ho che la D) risultata verificata per g(x)=h(y)=k

Ma se ad $alpha$ sostituisco $1/alpha$ la catena di uguaglianze resta la stessa , no?
Le due $v(x,y)$ continuerebbero ad essere diverse, a meno che "non le si aggiusti" con le dovute g(x) ed h(y)

[ingres]

Nel senso che lasci sempre $alpha$ in tutti i calcoli, ma sapendo che $alpha=1/alpha$ ad es. in questa espressione

$ -sinx(alphae^(alphay)-e^-y)+h(y)=-sinx(e^(alphay)/alpha -e^-y)+g(x)=k $

si avrà

$alphae^(alphay)=e^(alphay)/alpha$

e quindi puoi eliminare i termini in x e y e ricavare h(y)=g(x).

[CallistoBello]

Mi pare di capire che hai diviso PER $-sinx$.
Però non lo ritengo lecito, perché dovremmo essere certi che il $sinx$ non si annulla nel dominio della $f(z)$, ma noi la $f(z)$ non la conosciamo (quindi figuriamoci l'insieme dove è definita nel piano complesso).

Prima di ricorrere alla sostituzione diretta di $alpha=+-1$ , avevo pensato di riscrivermela in questo modo:
$-alphae^(alphay)sinx+e^(-y)sinx+e^(alphay)/(alpha)sinx-e^ysinx h(x)=h(y)=k$
$-alphae^(alphay)sinx+e^(alphay)/(alpha)sinx -g(x)=h(y)=k$
$sinx(e^(alphay)/(alpha)-alphae^(alphay))-g(x)=h(y)=k$

[ingres]

Non ho diviso per -sinx. Ho solo comparato le due espressioni e notato che valendo quella relazione tutti i termini contenenti x e y sono uguali