Integrale da risolvere applicando i metodi dell'analisi complessa

[tkomega]

Salve, ho difficolta nel risolvere questo esercizio di esame di Analisi 2 :
Calcolare utilizzando i metodi dell'analisi complessa(quindi con il teorema dei residui) l'integrale integrale da 0 a +infinito di (lnx)/(x^2 +4) dx



Il mio professore non ha mai risolto esercizi di questo tipo con il logartimo , dunque non saprei da dove inziare e come considerare per l'appunto il logaritmo. Grazie in anticipo per la risposta.

[ingres]

Prova a considerare una linea chiusa costituita da due semicerchi nel semipiano superiore (numeri complessi con parte immaginaria positiva) di raggi $R$ e $epsilon$ e dai tratti congiungenti sull'asse reale che vanno da $-R$ a $-epsilon$ a e poi da $epsilon$ ad $R$.

Considera poi la funzione $(ln(z))/(4+z^2)$

Nell'area inclusa dalla linea chiusa, l'integranda ha un polo semplice in $z=2i$ e quindi l'integrale lungo tutta la linea è calcolabile con il teorema dei residui. Spezzando in 4 l'integrale (i 2 semicerchi e i 2 tratti sull'asse reale) dovresti dimostrare che per $R to infty$ e per $epsilon to 0$ gli integrali sui semicerchi tendono a zero.

I due tratti sull'asse reale possono essere scomposti in una parte reale e una immaginaria e quindi determinati comparando con il valore ottenuto dal teorema dei residui. Questo dovrebbe fornirti l'integrale cercato.

Nota: bisogna fare qualche cambio di variabile negli integrali per ricondurre il tutto al solo asse reale positivo.

[pilloeffe]

Ciao tkomega,

Benvenut* sul forum!

Come prima cosa ti chiedo la cortesia di non postare immagini, che alla lunga si perdono rendendo praticamente illeggibile il thread, ma di scrivere le formule come prescritto nella relativa guida.

Quanto all'integrale proposto, si tratta dello stesso integrale già proposto in questo thread.

[tkomega]

Prova a considerare una linea chiusa costituita da due semicerchi nel semipiano superiore (numeri complessi con parte immaginaria positiva) di raggi $R$ e $epsilon$ e dai tratti congiungenti sull'asse reale che vanno da $-R$ a $-epsilon$ a e poi da $epsilon$ ad $R$.

Considera poi la funzione $(ln(z))/(4+z^2)$

Nell'area inclusa dalla linea chiusa, l'integranda ha un polo semplice in $z=2i$ e quindi l'integrale lungo tutta la linea è calcolabile con il teorema dei residui. Spezzando in 4 l'integrale (i 2 semicerchi e i 2 tratti sull'asse reale) dovresti dimostrare che per $R to infty$ e per $epsilon to 0$ gli integrali sui semicerchi tendono a zero.

I due tratti sull'asse reale possono essere scomposti in una parte reale e una immaginaria e quindi determinati comparando con il valore ottenuto dal teorema dei residui. Questo dovrebbe fornirti l'integrale cercato.

Nota: bisogna fare qualche cambio di variabile negli integrali per ricondurre il tutto al solo asse reale positivo.

Ok penso di aver capito il ragionamento , ma cosa faccio con il logaritmo ? Risolvo considerando log(z) ?

[ingres]

Nel thread di pilloeffe c'è tutto il procedimento, ma guarda quanto riesci a fare da solo: credo che sia più istruttivo.

Per rispondere alla tua domanda, il log(z) sugli integrali relativi all'asse reale diventerà log(x), per cui alla fine avrai 2 integrali, in generale comprendenti log(x) (e uno in particolare uguale all'integrale da risolvere), uno per parte reale e uno per parte immaginaria, da uguagliare al residuo parte reale e parte immaginaria.
Questo ti consentirà di determinare la soluzione.