Singolarità di una funzione complessa

[CallistoBello]

Come da titolo: devo classificare le singolarità della seguente funzione: $f(z)=(z(z+1))/sin(z+1)$
Il libro suggerisce che ci sono due poli semplici, ma purtroppo non mi trovo con questo risultato.

Siccome il seno è di periodicità $2pi$ ho considerato sia
A)la possibilità di ragionare nell'intervallo $[-pi,pi]$
B) che l'alternativa fornita dall'intervallo $[0,2pi]$

A)nel primo caso, ho trovato che la funzione ammette "infiniti punti di singolarità" della forma :$z=-1+kpi$,con $kinZ$

Ricordando il limite notevole : $lim_(x->0) sinx/x=1$ mi aspetto che quella Singolarità sia ELIMINABILE

VERIFICA: per periodicità , posso imporre $k=0$ e andarmi a studiare 1 sola di quelle infinite singolarità .
In particolare, vado a considerare una restrizione della mia f(z) ad un Intervallo della forma $[-pi,pi]$

Per la definizione di (Singolarità eliminabile) si ha che:

$lim_(z -> -1) (z(z+1))/sin(z+1)=lim_(y->0)(y-1)y/siny=-1$

Siccome il limite esiste finito , è verificata la definizione di singolarità eliminabile.
Dunque, per periodicità si ha che:gli infiniti punti $z=kpi$ sono tutte singolarità regolari

B)nel secondo caso, ho trovato che la funzione ammette "infiniti punti di singolarità"
B1. alla destra dell'origine della forma $z=-1+2kpi$,con $kinZ$
B2. alla sinistra dell'origine della forma $z=-1+pi+2kpi$

B1)
Ricordando il limite notevole : $lim_(x->0) sinx/x=1$ mi aspetto che quelle alla destra dell'origine sono Singolarità ELIMINABILI

VERIFICA: per periodicità , posso imporre $k=0$ e andarmi a studiare 1 sola di quelle infinite singolarità .
In particolare, vado a considerare una restrizione della mia f(z) ad un Intervallo della forma $[0,2pi]$

$lim_(z -> -1) (z(z+1))/sin(z+1)=lim_(y->0)(y-1)y/siny=-1$
Dunque, per periodicità si ha che: gli infiniti punti $z=-1+2kpi$ sono tutte singolarità regolari

B2)


$lim_(z -> -1+pi) (z(z+1))/sin(z+1)(z+1-pi)=-pi^2-3pi$ per De L'hopital
Siccome questo limite è diverso da 0 , abbiamo che:
gli infiniti punti alla sinistra dell'origine , della forma: $z=-1+pi+2kpi$ sono tutti POLI DEL I ORDINE

Mi interessa sapere,
- perché nel caso A) ho trovato delle singolarità eliminabili invece che dei POLI
- perché nel caso B1) ho trovato delle singolarità eliminabili invece che dei POLI
- perché il risolutore non tiene in considerazione i punti della forma $z=kpi$ ma solamente quelli della forma: $z=-1+2kpi$ e $z=-1+pi+2kpi$

[ingres]

Nel caso A se prendo $z=-1+ pi$ al numeratore ho $pi(pi-1)$ e al denominatore zero. Quindi non è una singolarità eliminabile.

[CallistoBello]

OK. Quindi , se seleziono $k=1$ non è più verificata la definizione di singolarità regolare.
Credo di aver capito dov'è che sbaglio, ovvero
Domanda:
quando mi capita una funzione periodica al Denominatore, non posso semplicemente:
STEP 1."esaminare il tipo di singolarità che ottengo per $k=0$"
STEP 2.e poi dire che " PER PERIODICITA', al variare di k , si ripeterà lo stesso tipo di singolarità " ??

Devo per forza fare quel limite ragionando in termini di un generico k?

[ingres]

Se la funzione è periodica di periodo T, per definizione si ripete dopo T. Ma il fatto che solo un pezzo della funzione sia periodica con periodo T non implica che lo sia tutto il resto e quindi non vale estendere quanto trovato in un punto a tutti gli altri distanti T dal precedente.
Infatti $(z(z+1))/sin(z+1)$ non è una funzione periodica e questo implica che quanto trovato per -1 non vale per $-1+kpi$
Quindi la risposta è proprio che devi ragionare in termini di generico k.

[CallistoBello]

$ lim_(z->-1+kpi) (z(z+1))/sin(z+1) *(z+1-kpi)^alpha$
$=((-1+kpi)(-1+kpi+1))/sin(-1+kpi+1) (-1+kpi+1-kpi)^alpha = [0/0]$

1.$f(z) in C^ oo(C) , g(z)in C^oo(C)$
2.$g'(z)=cos(z+1) != 0, z in I(-1+kpi)$
Hopital

$lim_(z->z_0) (f'(z))/(g'(z))= lim_(z->(-1+kpi)) {D[(z^2+z)(z+1-kpi)^alpha] }/cos(z+1)$

$=lim_(z->(-1+kpi)) [(2z+1)(z+1-kpi)^alpha+(z^2+z)alpha(z+1-kpi)^(alpha-1)]/cos(z+1)$

per $alpha>1$ si ha che:

$=[(2(-1+kpi)+1)(-1+kpi+1-kpi)^alpha +((-1+kpi)(-1+kpi+1)alpha(-1+kpi+1-kpi)^(alpha-1))]/cos(-1+1+kpi)$
$=(0+0)/-1=0$

Risultato: il limite esiste finito ma non è diverso da 0--> dunque non esistono poli di molteplicità $alpha>1$

per $alpha=1$ si ha che:


$=[(2(-1+kpi)+1)(-1+kpi+1-kpi) +((-1+kpi)(-1+kpi+1)(-1+kpi+1-kpi)^(0))]/cos(-1+1+kpi)$
$=(kpi(-1+kpi))/-1=0$

Risultato: il limite esiste finito ma non è diverso da 0--> dunque non esistono poli di molteplicità $alpha=1$


Anche facendo il ragionamento per un generico $k$ non ho trovato alcun POLO.

Mi sorge un dubbio:
siccome WolframAlpha mi identifica come POLI solo quelli del caso B e non quelli del CASO A, mi chiedo
" $z=kpi$ sono punti di singolarità per quella f(z) oppure no?"

[ingres]

Non mi sembra che per un generico k diverso da zero risulti

$(k pi (-1+k pi))/(-1)=0$

[CallistoBello]

E posso comunque asserire che: quelle infinite singolarità sono Poli del I ordine??
Anche se, per k=0, ho una singolarità che non è un polo?

[ingres]

Si, tutti poli di ordine 1 salvo per k=0 dove la singolarità è eliminabile.