Ricavare la fase di una funzione complessa

[missu00]

Buonasera, sto cercando di dimostrare questa uguaglianza ma non riesco in alcun modo. Mi potreste aiutare

$ Arg[(e^(-jw)-r e^(-jvartheta))/(1-re^(jvartheta)e^(-jw))]= -w-2arctan[(rsin(w-vartheta))/(1-rcos(w-vartheta ))] $

Per comodità potete supporre il numero complesso $ r*e^(jvartheta ) $ puramente reale, quindi porre $ vartheta =0 $.

Grazie mille in anticipo a chiunque potrà aiutarmi!

[ingres]

La dimostrazione dovrebbe essere la seguente:

$(e^(-j omega)-re^(-j theta))/((1-re^(j theta)e^(-j omega))=$
$=e^(-j omega)(1-re^(j (omega-theta)))/(1-re^(-j (omega-theta)))=$
$=e^(-j omega)(1-re^(j (omega-theta)))^2/(1+r^2-2rcos(omega-theta))$

Osservando che

$Arg (1-re^(j (omega-theta)))=Arg(1-r cos(omega-theta)-jr sen(omega-theta))=-arctan((r sen(omega-theta))/(1-r cos(omega-theta)))$

e che la fase di un prodotto è la somma delle fasi dei singoli fattori:

$Arg(e^(-j omega)(1-re^(j (omega-theta)))^2/(1+r^2-2rcos(omega-theta)))=Arg(e^(-j omega))+2*Arg(1-re^(j (omega-theta)))=$
$=-omega-2arctan((r sen(omega-theta))/(1-r cos(omega-theta)))$

[pilloeffe]

Ciao missu00,

Benvenut* sul forum!

Riporto anche la mia dimostrazione: ci ho lavorato un po' ieri sera, poi improvvisamente il post è sparito (mi dava il messaggio "argomento inesistente") e questa mattina ho visto che è ricomparso senza la foto (che è cosa buona e giusta... )

Si ha:

$\text{Arg}[(e^(-i\omega) - re^(-i\theta))/(1 - r e^(i\theta) e^(-i\omega))] = \text{Arg}[e^(-i\omega)(1 - re^(i\omega) e^(-i\theta))/(1 - r e^(i\theta) e^(-i\omega))] = $
$ = \text{Arg}[e^(-i\omega)] + \text{Arg}[1 - re^(i\omega) e^(-i\theta)] - \text{Arg}[1 - r e^(i\theta) e^(-i\omega)] = $
$ = - \omega + \text{Arg}[1 - rcos(\omega - \theta) - ir sin(\omega - \theta)] - \text{Arg}[1 - r cos(\omega - \theta) + ir sin(\omega - \theta)] = $
$ = - \omega + arctan[- (r sin(\omega - \theta))/(1 - rcos(\omega - \theta))] - arctan[(r sin(\omega - \theta))/(1 - rcos(\omega - \theta))] = $
$ = - \omega - arctan[(r sin(\omega - \theta))/(1 - rcos(\omega - \theta))] - arctan[(r sin(\omega - \theta))/(1 - rcos(\omega - \theta))] = $
$ = - \omega - 2 arctan[(r sin(\omega - \theta))/(1 - rcos(\omega - \theta))] $

Attenzione che la formula è valida se $x := 1 - rcos(\omega - \theta) = \text{Re}[z] = \text{Re}[1 - re^(i\omega) e^(-i\theta)] = \text{Re}[\bar z] = \text{Re}[1 - r e^(i\theta) e^(-i\omega)] > 0 $

[missu00]

Perfetto! Vi ringrazio davvero tanto, scusate per il crossposting e l'immagine non avevo letto il regolamento per intero

Quello a cui non avevo fatto caso, era che potessi raccogliere $ e^(-j omega) $ tra il primo e secondo passaggio, ottenendo $e^(-j omega)(1-re^(j (omega-theta)))/(1-re^(-j (omega-theta)))$ che semplificava non poco i calcoli.

Grazie ancora e buona giornata!