Uguaglianza di Parseval

[Leila01]

Buonasera, ho un problema da risolvere relativo all'applicazione dell'uguaglianza di Parseval.
L'esercizio chiedeva di calcolare la trasformata di Fourier della funzione:
$f(x)=\frac{1}{(x+1-2i)\cdot (x-1+2i)}$

e questo l'ho fatto ottenendo
$F(x)=\frac{\sqrt{2\pi}i}{2i-1}\cdot \cos(\omega\cdot (i+2))$


adesso però chiede di dimostrare quest'uguaglianza
$\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\left[ (x+1)^2 +4\right]\cdot[(x-1)^2 +4] }d\omega=\frac{\pi}{20}$

utilizzando l'identità di Parseval. Ho provato a risolverlo ma non riesco ad ottenere questa uguaglianza.

Grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi!

[Quinzio]

Mi sembra strano che la trasformata sia quella che hai scritto.
Ci faresti vedere i passaggi, le proprieta' che hai usato ?

[pilloeffe]

Ciao Leila01,

Innanzitutto comincerei con l'osservare che la funzione data è del tipo

$f(x) = 1/((x + a)(x - a)) = 1/(x^2 - a^2) = 1/(2a) (1/(x - a) - 1/(x + a)) $

con $a := 1 - 2i \implies \text{Re}[a] = 1 > 0 $
Poi quando si tratta di trasformata di Fourier si parla più propriamente di uguaglianza di Plancherel, piuttosto che di uguaglianza di Parseval, e sarebbe bene che tu specificassi anche a quale definizione di trasformata di Fourier fai riferimento (ce ne sono diverse).
Poi certamente assumendo $x \in \RR$ si ha:

$\int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)|^2 \text{d}x = \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\left[ (x+1)^2 +4\right]\cdot[(x-1)^2 +4] } \text{d}x $

(attenzione che hai scritto $\text{d}\omega $ invece di $\text{d}x $)
Infine, oltre ad essere d'accordo con Quinzio,

e questo l'ho fatto ottenendo
$ F(x)=\frac{\sqrt{2\pi}i}{2i-1}\cdot \cos(\omega\cdot (i+2)) $

la trasformata di Fourier non può essere una $F(x) $, ma è una $F(\omega)$...

[Leila01]

Buongiorno, grazie per avermi risposto ora ho capito come si trova il primo membro dell'uguaglianza.
Hai ragione ci sono alcuni errori di battitura.
Per calcolare la trasformata di Fourier ho utilizzato la formula
$F(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{i\omega x}dx$

Per risolvere l'integrale ho calcolato i residui
$Res(2i-1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{4i-2}e^{-(i+2)\omega}$
$Res(1-2i)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{2-4i}e^{(i+2)\omega}$

e ho ottenuto:
$F(\omega)=\frac{2i\pi}{\sqrt{2\pi}}(\frac{e^{-(i+2)\omega}}{2(2i-1)}+\frac{e^{(i+2)\omega}}{2(2i-1)})$
che poi avevo riscritto in funzione del coseno.

è proprio da questo punto che non riesco a procedere per trovare $\frac{\pi}{20}$

[Quinzio]

e ho ottenuto:
$F(\omega)=\frac{2i\pi}{\sqrt{2\pi}}(\frac{e^{-(i+2)\omega}}{2(2i-1)}+\frac{e^{(i+2)\omega}}{2(2i-1)})$
che poi avevo riscritto in funzione del coseno.

è proprio da questo punto che non riesco a procedere per trovare $\frac{\pi}{20}$

Prima bisogna controllare che la trasformata sia corretta, sia io che pilloeffe abbiamo scritto che qualcosa non torna.
Quando calcoli l'integrale complesso sul percorso a semicerchio, si deve fare in modo che il tratto semicircolare tenda a zero per $|z| -> \infty$.
La funzione da integrare contiene il fattore $e^{-izw}$.
Ora
$|e^{-izw}| = |e^{Re(-izw)}||e^{i\ Im(-izw)}| = |e^{Re(-izw)}|$ siccome $|e^{i\ Im(-izw)}| = 1$.

Quindi si deve controllare che

$|e^{Re(-izw)}| -> 0$ per $|z| -> \infty$

che vuol dire
$Re(-izw) < 0$
ovvero
$Im(z)w < 0$

Siccome siamo nel semipiano superiore $Im(z) > 0$
ma allora bisogna distinguere i due casi che sono $w < 0$ e $w > 0$.
Quasi sicuramente non hai tenuto conto di questo particolare e il tuo risultato non e' corretto.

Puoi confrontare qui (https://math.stackexchange.com/question ... -of-frac1x) dove trattano un integrale simile al tuo (basta mettere $k = 1$).
E anche qui https://www.google.com/search?q=fourier ... 5sa4XO5_x0. .
Vedrai che trattano separatamente i casi per $w<0$ o $w>0$.

Inoltre per controllare il risultato puoi sempre fare riferimento alle proprieta' e alle trasformate notevoli di Fourier.
https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_t ... transforms

Usando le proprieta' 309 e poi 102.
$F{1/(x-a)}(\omega) = -i \sqrt {\pi/2} sgn(\omega) e^{-ia\omega}$.
Controlla bene la definizione che usano per la trasformata (la formula), se c'e' il segno meno sull'esponenziale.
La funzione $sgn(\omega)$ viene fuori proprio dalla distinzione $w>0$ oppure no.

Quando la trasformata e' a posto, guardiamo Parseval o Plancherel.

[pilloeffe]

Vediamo un po' come stanno le cose.
In base alla definizione di trasformata di Fourier che hai scritto si ha:

$ F(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{i \omega x}\text{d}x = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty }e^{i \omega x}/(x^2 - a^2) \text{d}x $

con $ a := 1 - 2i \implies \text{Im}[a] = - 2 < 0 $

Per $\omega \ge 0 $ scegliamo il semipiano $\text{Im}[z] > 0 $
In questo caso il cammino così costruito viene percorso in verso antiorario positivo e contiene al suo interno il solo polo semplice $x = - a = - 1 + 2i $, di conseguenza per $\omega \ge 0 $ si ha:

$F(\omega) = (2\pi i)/(\sqrt{2\pi}) \cdot \text{Res}[e^{i \omega x}/(x^2 - a^2)]_{x = - a} = (2\pi i)/(\sqrt{2\pi}) \cdot [- e^{- i a \omega}/(2a)] = - i \sqrt{\pi/2} e^{- i a \omega}/a $

Per $\omega \le 0 $ invece scegliamo il semipiano $\text{Im}[z] < 0 $ ed in questo caso il cammino chiuso viene percorso in verso orario negativo e contiene al suo interno il solo polo semplice $x = a = 1 - 2i $, di conseguenza per $\omega \le 0 $ si ha:

$F(\omega) = - (2\pi i)/(\sqrt{2\pi}) \cdot \text{Res}[e^{i \omega x}/(x^2 - a^2)]_{x = a} = - (2\pi i)/(\sqrt{2\pi}) \cdot [e^{i a \omega}/(2a)] = - i \sqrt{\pi/2} e^{i a \omega}/a $

Concludendo per $\omega \in \RR $ si ha:

$F(\omega) = - i \sqrt{\pi/2} e^{- i a |\omega|}/a $

Dunque si ha:

$\int_{-\infty}^{+\infty} |F(\omega)|^2 \text{d}\omega = \int_{-\infty}^0 |- i \sqrt{\pi/2} e^{i (1 - 2i) \omega}/(1 - 2i)|^2 \text{d}\omega + \int_0^{+\infty} |- i \sqrt{\pi/2} e^{- i (1 - 2i) \omega}/(1 - 2i)|^2 \text{d}\omega = $
$ = 2 \cdot \int_0^{+\infty} |- i \sqrt{\pi/2} e^{- i (1 - 2i) \omega}/(1 - 2i)|^2 \text{d}\omega = 2 \cdot \pi/40 = \pi/20 $

In definitiva si ha proprio ciò che volevasi dimostrare:

$ \int_{-\infty }^{+\infty}\frac{1}{[(x+1)^2 +4]\cdot[(x-1)^2 +4]}\text{d}x = \int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)|^2 \text{d}x = \int_{-\infty}^{+\infty} |F(\omega)|^2 \text{d}\omega = \pi/20 $

[dissonance]

Parseval...Plancherel...

Non è mai chiaro a chi attribuire queste formule. Ormai praticamente Parseval e Plancherel si possono considerare come la stessa persona. Terry Tao nel dubbio scrive Parseval--Plancherel: https://terrytao.wordpress.com/2014/12/ ... -analysis/ (Corollary 33)

[pilloeffe]

Mah, senza entrare nel merito del conflitto di attribuzione della formula e fermo restando che naturalmente si tratta comunque di grandi matematici, al contrario di Terry Tao e solo nell'ottica di distinguerle personalmente preferisco attribuire a Parseval quella sulla serie di Fourier e a Plancherel quella sulla trasformata di Fourier. Poi mi rendo conto che sono scelte e come tali opinabili, infatti non ho corretto il titolo del post...

[gugo82]

In realtà il teorema originale di Parseval (1755 - 1836) ha a che fare con le serie, anche se non proprio con quelle cui siamo abituati ora, ed è più che altro visto come una regola per sommare serie di potenze; mentre il teorema di Plancherel (1885 - 1967) contiene l'uguaglianza tra le norme $L^2$ di una funzione e della sua trasformata di Fourier e la formula d'inversione.

Per capirci, la versione di Parseval della faccenda (datata 1799 e perfezionata nel 1801) è grosso modo la seguente: se nelle somme:
\[
A(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n \qquad \text{e}\qquad B(z) = \sum_{n = 0}^\infty b_n z^n
\]
si fa la sostituzione $z=\cos \theta + \mathbf{i} \sin \theta = e^{\mathbf{i} \theta}$ e si separa il reale dall'immaginario ottenendo:
\[
A(e^{\mathbf{i} \theta}) = p(\theta) + \mathbf{i} q(\theta) \qquad \text{e}\qquad B(e^{\mathbf{i} \theta}) = r(\theta) + \mathbf{i} s(\theta)
\]
allora risulta:
\[
2a_0b_0 + a_1b_1+a_2b_2 + \cdots = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi p(\theta) r(\theta)\ \text{d}\theta\; .
\]
Questo risultato rimase noto solo ai membri dell'Académie des Sciences prima che fosse pubblicato il lavoro di Parseval (che apparve solo nel 1806), perciò si ritrova sia in un tomo di Calcolo Differenziale ed Integrale di Lacroix (membro eletto all'Académie quando anche Parseval era candidato) sia in lavori di Poisson (altro membro dell'Académie) tutti pubblicati prima del 1806.


P.S.: I cinque lavori presentati da Parseval all'Académie tra il 1798 ed il 1804¹ furono pubblicati tutti insieme solo nel 1806... E pensare che c'è chi -oggi- lamenta eccessive lungaggini nella pubblicazione di lavori su rivista!

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Note

1. Che sono i soli cinque contributi noti di Parseval alla Matematica, a quanto si sappia. ↑

[pilloeffe]

Ciao gugo82,

Grazie per il tuo prezioso contributo, dal quale mi pare di capire che tutto sommato sono nel giusto quando nel mio post precedente

preferisco attribuire a Parseval quella sulla serie di Fourier e a Plancherel quella sulla trasformata di Fourier.