Nel calcolo del seguente integrale : $ int_(0)^(+infty) (x^3sinx)/((1+x^2)(4+x^2)) dx $
ho i seguenti problemi:
PROBLEMA1. io mi trovo che vale: $ipi [2/3isinh(2)-isinh(1)/6]$ che è diverso da $(pi(e-4))/(6e^2)$ (Risultato fornito da Wolfram)
PROBLEMA2. ho applicato il [Lemma del grande cerchio] (2°lemma di Jordan) , ma andando a verificare il $lim_( z->infty) zf(z)$ ho che questo limite non fa $0$ ma fa $infty$
Ragionamento seguito:
1.Considerato che f è PARI , ho calcolato quell'integrale come "metà" del corrispettivo integrale tra $-infty$ e $+infty$
2.dopodiché sono passato al piano complesso, ho considerato un semicerchio di raggio Rgrande
ed ho calcolato, tramite [teorema dei residui], l' Integrale curvilineo della corrispettiva f(z) esteso alla frontiera del dominio $D_R$ racchiuso in quella semicirconferenza
ottenendo che:
$ int_(+partial D_R) (z^3sinz)/((1+z^2)(4+z^2)) dz=2ipi [2/3isinh(2)-isinh(1)/6]$
3.Siccome ci interessa un integrale reale, ho "SPEZZATO" quell'integrale curvilineo come somma dei due integrali curvilinei rispettivamente estesi alla : Curva: semicirconferenza e Curva: segmento da -R ad R
$2ipi [2/3isinh(2)-isinh(1)/6]= int_(gamma_R)f(z)dz+int_(-R)^(R) f(x)dx$
che per R->$+infty$ diventa:
$2ipi [2/3isinh(2)-isinh(1)/6]= int_(gamma_infty)f(z)dz+int_(-infty)^(infty) f(x)dx$
PROBLEMA2: per il [lemma di jordan] dovrei avere che:
$int_(gamma_infty)f(z)dz= lim_(z->infty) zf(z)=0$
ma quello che ottengo è che:
$lim_(z->infty) (z^4sinz)/((1+z^2)(4+z^2))=infty$
Sintesi: Vorrei sapere
-perché non mi trovo col risultato
- e se ho sbagliato il calcolo del limite di jordan oppure effettivamente in questo caso il LEMMA non funge