Esercizio: Si consideri la funzione : $f(z)=z/(1+z^3)$
a)Esprimere la funzione f come SERIE DI POTENZE POSITIVE
e specificare il cerchio di convergenza
b)Esprimere la funzione f come SERIE DI POTENZE NEGATIVE
e specificare il cerchio di convergenza
PROBLEMA: non ho capito se
1°possibilità: bisogna assumere come centro dello sviluppo: l'origine
oppure
2° possibilità:il centro è a nostra discrezione .
Ho deciso di seguire la 2°via.
La mia idea è stata quella di studiarmi le singolarità della funzione , ottenendo:
A questo punto , intuitivamente ho dedotto che:
- il cerchio di convergenza nel quale vale lo sviluppo con sole potenze positive è un cerchio di centro : $z=1/2$ e raggio $rho=sqrt3/2$
(in modo tale da non inglobare le due crocette verticali)
- il cerchio di convergenza nel quale vale lo sviluppo con potenze negative è:
un cerchio di centro: $z=-1$ e raggio :1 oppure 1.5