Domanda che mi chiede di dimostrare due cose in conflitto!

[3m0o]

Domanda legata a questa https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=54&t=223353
Mi sono reso conto di una cosa cercando di risolvere questo esercizio

Consideriamo una passeggiata aleatoria semplice modificata su \( \mathbb{Z} \) che parte da \(0\) e che salta con probabilità \( 3/4 \) a destra e con probabilità \(1/4\) a sinistra. Dimostra che il valore atteso del numero di visite di \(0\) è finito. Dimostra che è uguale al seguente integrale
\[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{1- \frac{1}{2} \cos \xi - \frac{1}{2} e^{i \xi}} d \xi \]


Premessa:
È una domanda di un vecchio esame! Ora a me sembra che quel integrale non converge pertanto mi sembra strano che sia finito il numero di visite di \(0\). Ma mi sembra più strano che in un esame vi sia un errore pertanto potrebbe esserci qualcosa di strano che succede. Ad ogni modo per capire come dimostrare che il valore atteso è uguale a quel integrale avrei un paio di domande. In particolare se è vero che
\[ \mathbb{E}[N] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{1- \mathbb{E}[e^{i \xi X_1}]} d \xi \]
e come calcolare
\[ \mathbb{E}[e^{i \xi X_1}] \]

EDIT: Penso che era un typo nel esame e che la domanda fosse infinito a posto di finito siccome se \( p = \mathbb{P}(N \geq 1 ) \) con \(N = \# \{ n : X_n = 0 \} \) abbiamo chiaramente che poiché \( X_0= 0 \) allora \( p = \mathbb{P}(N \geq 1) = 1 \) dunque
\[ \mathbb{E}[N] = \sum_{n= 0}^{\infty} p^n = \frac{p}{1-p} = \infty \]

Allora ragionando in modo analogo al altro definisco appunto \( N \) il numero di visite di \(0\), i.e. \( N = \# \{ n: X_n = 0 \} \). Dove a mia passeggiata aleatoria è \( (X_n)_{n \geq 0 } \). Ora definisco \(P_k(x) \) come la probabilità di andare da \(0\) ad \(x\) in esattamente \(k \) steps e vediamo che è uguale a

\[ P_{k+1}(x) = \sum_{z \in \mathbb{Z}} P_{k}(z) P_1(x-z) \]
in particolare
\[ P_{k+1}(x) = P_k(x-1) \cdot \frac{3}{4} + P_k(x+1) \cdot \frac{1}{4} \]
Ora noto che
\[ \mathbb{E}[N] = \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{E}[ \mathbf{1}_{X_n=0} ] = \sum_{n =0}^{\infty} P_n(0) = \sum_{n=0}^{\infty} P_1^{\ast n}(0) \]
dove \( P_1^{\ast n} = P_1 \ast \ldots \ast P_1 \), \(n\)-volte e \( \ast \) è la convoluzione.

Ora abbiamo che
\[ \mathcal{F} P_1(\xi) = \sum_{n \geq 0} e^{i n \xi} P_1(n) = \mathbb{E}[e^{i \xi X_1}] \]
Inoltre poiché la \( \mathcal{F} (f \ast g) = \mathcal{F} f \mathcal{F} g \) abbiamo che
\[ \mathbb{E}[N] = \sum_{n=0}^{\infty} P_1^{\ast n}(0) = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \mathcal{F} P_1 \right)^n (0) = \frac{1}{1- \mathcal{F} P_1 } \]
da cui
\[ \sum_{n\geq 0} P_1^{\ast n}(\xi) = \frac{1}{2\pi} \sum_{n = 0}^{\infty} \mathbb{E}[e^{i \xi X_1}]^n = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^{\pi} \frac{1}{1- \mathbb{E}[e^{i \xi X_1}]} d \xi \]

ora sono tentato di dire che \( \mathbb{E}[e^{i \xi X_1}] = \frac{3}{4} e^{i \xi} + \frac{1}{4} e^{-i \xi} = \frac{1}{2} \cos \xi + \frac{1}{2} e^{i \xi } \) ma non so troppo perché.

Insomma mi domando se è vero in generale che
\[ \mathbb{E}[N] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{1- \mathbb{E}[e^{i \xi X_1}]} d \xi \]
e mi chiedevo come calcolare \( \mathbb{E}[e^{i \xi X_1}] \) nei diversi casi. Nel altro thread (https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=54&t=223353) dovremmo avere
\[ \mathbb{E}[e^{i \xi X_1}] = \frac{1}{2} e^{i \xi} + \frac{1}{2} e^{-i \xi} = \cos \xi \]


Da cui poi ottengo il risultato infatti considerando lo sviluppo di Taylor del coseno e di \( e^{i \xi} \) in \( \xi = 0 \) abbiamo che l'integrale converge

[pilloeffe]

Ciao 3m0o,

Ora a me sembra che quel integrale non converge

Vero, ma nel senso del valore principale di Cauchy si ha:

$\frac{1}{2\pi} PV[\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{1- \frac{1}{2} \cos \xi - \frac{1}{2} e^{i \xi}} \text{d}\xi] = 1 $

[3m0o]

Cos'è il valore principale di Cauchy?

[pilloeffe]

Difficile spiegarlo brevemente: potresti cominciare col dare un'occhiata ad esempio qui.

[dissonance]

Ma mi sembra più strano che in un esame vi sia un errore

E invece non è affatto strano, gli errori si intrufolano ovunque, anche in un tema d'esame.

[3m0o]

Ma mi sembra più strano che in un esame vi sia un errore

E invece non è affatto strano, gli errori si intrufolano ovunque, anche in un tema d'esame.

Fortuna che non era nel mio anno perché per risparmiare tempo al esame avrei dimostrato che \( \mathbb{E}[N] \) è uguale a quel integrale e avrei detto tipo "che chiaramente converge facendo Taylor in \( \xi = 0 \), quindi come richiesto \( \mathbb{E}[N] \) è finito"