Liouville implica amenabile

[3m0o]

Faccio un attimo fatica con la seguente dimostrazione

Cose che non ho capito
1) Perché \( K \) è convesso e compatto, in particolare per la convessità è chiaro che se \(Q_1,Q_2 \in K \) e \(t \in [0,1] \) allora \( tQ_1 + (1-t) Q_2 \) è lineare, è l'identità ristretta \( \ell_{\mu}^{\infty}(G) \), ed è una \(G\)-mappa. Ciò che non mi è molto chiaro è perché ha norma \(1\).
Per la compatezza non capisco perché le condizioni i) ii) iii) e v) sono condizioni di chiusura poi è chiaro che se è chiuso ed è contenuto in un compatto allora è compatto.
2) Non ho capito l'ultima disuguaglianza, ovvero come fa a dire che
\[ \left \| \frac{1}{n} \left( f \ast \mu - f \ast \mu^{n+1} \right) \right \|_{\infty}\leq \frac{1}{n} 2 \left \| f \right \|_{\infty} \]
3) Non ho capito perché se \( (G,\mu) \) è Liouville allora \(P\) è una media invariante.


Notazioni e definizioni
Sia \(G\) un gruppo, e sia \( \operatorname{Prob}(G) = \{ \mu : G \to [0,1] : \sum_{y \in G} \mu(g) \} = M(G) \cap \ell^1(G)\).
Diciamo che \(f :G \to \mathbb{R} \) è \(\mu\)-armonica se per ogni \(x \) abbiamo \((f\ast \mu)(x)= f(x) = \sum_{y \in G } f(xy^{-1})\mu(y) \).
Definiamo inoltre \( \ell_{\mu}^{\infty}(G) = \{ f \in \ell^{\infty}(G) : f \ast \mu = f \} \). Inoltre diciamo che la coppia \( (G,\mu) \) è Liouville se \( \ell_{\mu}^{\infty} (G) = \mathbb{R} \mathbb{1}_G\).


Proposizione

Se \( (G,\mu)\) è Liouville allora \(G\) è amenabile.


Dimostrazione:
Claim: Consideriamo \( \mu \in \operatorname{Prob}(G) \) allora esiste \( P : \ell^{\infty}(G) \twoheadrightarrow \ell_{\mu}^{\infty}(G) \) tale che
i) \(P\) ha norma \(1\)
ii) \( P \) è lineare
iii) \(P \mid_{\ell_{\mu}^{\infty}(G)} = id \)
iv) \( P \circ P = P \)
v) \(P\) è una \(G\)-mappa

NB 1: Dato (iii) abbiamo che \(P\) ha norma \(1\) è equivalente a \(P\) norma \( \leq 1 \).
NB 2: (iv) è implicato da (iii)

Dimostrazione claim:
Sia \(K =\{ Q : \ell^{\infty}(G) \to \ell^{\infty}(G) : (i),(ii),(iii), (v) \text{ soddisfatte} \} \).

NB: In \(K\) (iv) non è implicato da (iii) poiché \( Q(\ell^{\infty}(G) ) \subset \ell_{\mu}^{\infty}(G) \).

Abbiamo che \( K \) non è vuoto poiché contiene l'identità, inoltre la convessità ci garantisce (iii).
Inoltre (i) è equivalente a richiedere che la norma sia \( \leq 1 \). Inoltre \(K\) è un insieme convesso e compatto, nella topologia della convergenza puntuale debole \(\ast \), i.e. \(Q_n \to Q \) se e solo e \( Q_n(f) \to Q(f)\).
più precisamente grazie a (i) abbiamo che
\[ Q \in \prod_{f \in \ell^{\infty}(G)} ( \overline{B}(0, \left \|f \right \|_{\infty}), w \ast ) \]
siccome \( \left \| Q \right \| = \sup_{ \left \| f \right \|_{\infty}=1} \left \| Q(f) \right \|_{\infty} \leq \left \| Q \right \| \left \| f \right \|_{\infty} \leq \left \|f \right \|_{\infty} \) e

Notiamo che \(K\) è chiuso in questo prodotto poiché (i),(ii), (iii) e (v) sono proprietà di chiusura e la palla chiusa è compatta in \(\ell^{\infty}(G) \).

NB: avere norma \( \leq 1 \) è una condizione, mentre avere norma 1 no.


Definiamo \(Q_n \in K \) come \( \ell^{\infty}(G) \ni Q_n(f) := f \ast \mu \ldots \ast \mu = f \ast \mu^{ \ast n} \)
allora sia
\[ P_n = \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} Q_j \]
per convessità abbiamo che \(P_n \in K\). Sia \(P \) un punto di accumulazione di \( (P_n)_n \) in \(K\).

Dobbiamo dimostrare che \(P \) soddisfa (iv) ovvero che \(P(f) \in \ell_{\mu}^{\infty}(G) \) quindi è sufficiente dimostrare che
\[ P_n f - (P_n f) \ast \mu \to^{\ast} 0 \]
in effetti converge a \(0\) pure in norma infinito. Comunque sia abbiamo che
\[ P_n f = \frac{1}{n} \left( f \ast \mu + f \ast \mu^2 + \ldots + f \ast \mu^n \right) \]
da cui
\[ P_n f - (P_n f) \ast \mu = \frac{1}{n} \left( f \ast \mu - f \ast \mu^{n+1} \right) \]
Abbiamo quindi che
\[ \left \| P_n f - (P_n f) \ast \mu \right \|_{\infty} = \left \| \frac{1}{n} \left( f \ast \mu - f \ast \mu^{n+1} \right) \right \|_{\infty}\leq \frac{1}{n} 2 \left \| f \right \|_{\infty} \to 0 \]

Abbiamo dimostrato il claim. Quindi se \( (G,\mu) \) è Liouville allora esiste \( P: \ell^{\infty}(G) \to \mathbb{R} \mathbf{1}_G \), e \(P\) è una media invariante, i.e. \( P=g P \) per ogni \(g \in G\) .