Biolomorfismo tra l'iperbole e \( \mathbb{C} \setminus \{0 \} \).

[3m0o]

Vorrei trovare un biolomorfismo tra l'iperbole e \( \mathbb{C} \setminus \{ 0 \} \), ma faccio un po' fatica.

Sia \( P(x,y) = x^2+y^2 - 1 \) e considera \(C_P \subseteq \mathbb{C}^2 \) la curva affine associata. Usiamo le coordinate omogenee \( X,Y,Z \) su \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^2 \), considera \( \mathbb{C}^2 \) come sottospazio affine aperto di \(U_0 = \{ X \neq 0 \} \) in \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^2 \) e chiamiamo inoltre \(U_1 = \{ Y \neq 0 \} \) e \( U_2 = \{ Z \neq 0 \} \). Chiamiamo \( \overline{C}_P \subseteq \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^2 \) la curva proiettiva associata.
1) Dimostra che per ogni \( 0 \leq i \leq 2 \) abbiamo che \( \overline{C}_P \cap U_i \) è biolomorfo a \( \mathbb{C} \setminus \{ 0 \} \).

Allora io farei così:
Chiaramente l'equazione omogena è \( P(X,Y,Z) =^2 + Y^2 - Z^2 \) e abbiamo che \( \overline{C}_P =\{ [x:y:z] \mid P(x,y,z)= 0, \nabla P(x,y,z) \neq (0,0,0) \} \). Ora siccome in \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^2 \) almeno una coordinata è non \(0 \) abbiamo che \( \overline{C}_P =\{ [x:y:z] \mid P(x,y,z)= 0 \} \).
Da cui risulta che
\[ \overline{C}_P \cap U_0 = \{ [x:y:z] \mid P(x,y,z)= 0 \} \cap \{ [1:y:z] \} = \{ [1:y:z] \mid 1+y^2-z^2= 0 \} \]
facendo un cambio di variabile con \( u = y-z \) e \( v= y+z \) vediamo che
\[ \overline{C}_P \cap U_0 \{ [1:y:z] \mid u=y-z,v=y+z, uv= -1 \} \]
che è l'equazione di un iperbole.
In modo del tutto simile abbiamo che
\[ \overline{C}_P \cap U_1 = \{ [x:1:z] \mid x^2+1-z^2= 0 \} \]
ponendo \( u=x-z \) e \(v=x+z \) otteniamo ancora
\[ \overline{C}_P \cap U_1 = \{ [x:1:z] \mid u=x-z, v=x+y, uv= -1 \} \]
e
\[ \overline{C}_P \cap U_2 = \{ [x:y:1] \mid x^2+y^2-1= 0 \} \]
e ponendo \( u=x+iy \) e \( v=x-iy \) otteniamo appunto che
\[ \overline{C}_P \cap U_2 = \{ [x:y:1] \mid u=x+iy, v=x-iy, uv=1 \} \]


Ora voglio trovare un biolomorfismo tra l'iperbole e \( \mathbb{C} \setminus \{ 0 \} \). Basta una funzione biiettiva e olomorfa e poi automaticamente l'inversa è olomorfa.