Isomorfismo del complessificato dello spazio tangente

[3m0o]

Sia \(X\) una superficie di Riemann e \( p \in X \). Usando coordinate locali \(z=x+iy \) attorno a \(p \), otteniamo una base dello spazio tangente e dello spazio cotangente in \(p \): \(T_p X \simeq \mathbb{R} \cdot \frac{ \partial }{\partial x} \oplus \mathbb{R} \cdot \frac{ \partial }{\partial y} \) e \( T_p^{\ast} X = \operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}(T_pX, \mathbb{R}) = \mathbb{R} \cdot dx \oplus \mathbb{R} \cdot dy \) rispettivamente. Dove \( (dx,dy ) \) è la base duale a \( ( \partial/\partial x, \partial /\partial y) \).
Una carta complessa di \(X\) conferisce a \( T_p X \) una struttura di \( \mathbb{C} \)-vettoriale tale che \(i \frac{ \partial}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial y} \) e \( i \frac{ \partial}{\partial y} = - \frac{\partial }{\partial x} \).

Sia \( (T_pX)_{\mathbb{C} } := \mathbb{C} \cdot \frac{\partial}{\partial x} \oplus \mathbb{C} \cdot \frac{ \partial }{\partial y} \) il complessificato dello spazio tangente \( T_pX\) e si \( (T_p^{\ast}X)_{\mathbb{C} } := \operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}( T_pX , \mathbb{C} ) \).
Dimostra che \( (T_p^{\ast}X)_{\mathbb{C}} \) è isomorfo in modo naturale a \( \operatorname{Hom}_{\mathbb{C}}( (T_pX)_{\mathbb{C}} , \mathbb{C} ) \)


Le soluzioni mi dicono di considerare l'isomorfismo
\[ F : ( T_p^{\ast} X)_{\mathbb{C}} \to \mathbb{C}^2 \]
\[ \phi \mapsto \left( \phi \left( \frac{\partial}{\partial x} \right), \phi \left( \frac{\partial}{\partial y} \right) \right) \]

e

\[ G : \operatorname{Hom}_{\mathbb{C}}( (T_pX)_{\mathbb{C}} , \mathbb{C} ) \to \mathbb{C}^2 \]
\[ \psi \mapsto \left( \psi \left( \frac{\partial}{\partial x} \right), \psi \left( \frac{\partial}{\partial y} \right) \right) \]

ma secondo me \(F\) non è un isomorfismo... direi che un omomorfismo tra \( ( T_p^{\ast} X)_{\mathbb{C}} \) e \( \mathbb{R}^2 \) quindi probabilmente sto facendo confusione su qualche cosa.

Se sbaglio qualche cosa penso che l'errore si nasconde qui:
Infatti dato \( \phi \in (T_p^{\ast}X)_{\mathbb{C} } \), i.e. \( \phi : T_p X \to \mathbb{C} \) tale che è \( \mathbb{R}\)-lineare, inoltre per \( \mathbb{R}\)-linearità e poiché \( \operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}(T_pX, \mathbb{R}) = \mathbb{R} \cdot dx \oplus \mathbb{R} \cdot dy \) credo che \( \operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}( T_pX , \mathbb{C} )= \mathbb{R} \cdot dx \oplus i \mathbb{R} \cdot dy \) e dunque abbiamo \( \phi = a_{\phi} \cdot dx + i b_{\phi} \cdot dy \) per \( a=a_{\phi},b=b_{\phi} \in \mathbb{R} \) fissati una volta fissato \( \phi \).

Abbiamo dunque che per ogni \( t \in T_p X \) risulta che \(t = t_1 \frac{\partial}{\partial x} + t_2 \frac{\partial }{\partial y} \) per qualche \( t_1,t_2 \in \mathbb{R} \), siccome \(T_p X \simeq \mathbb{R} \cdot \frac{ \partial }{\partial x} \oplus \mathbb{R} \cdot \frac{ \partial }{\partial y} \).

Dunque risulta che per ogni \( z \in \mathbb{C} \) abbiamo che possiamo trovare \(t_1,t_2 \in \mathbb{R} \) tale che \( at_1 = \Re(z) \) e \( bt_2 = \Im(z) \) inoltre abbiamo che
\[ \phi(t) = (a \cdot dx + i b \cdot dy) \left( t_1 \frac{\partial}{\partial x} + t_2 \frac{\partial }{\partial y} \right)
= at_1 dx \left( \frac{\partial}{\partial x} \right) +i bt_2 dy\left( \frac{\partial}{\partial y} \right)
= \Re(z) + \Im(z) i = z
\]

È suriettivo ed iniettivo quindi \( \phi \) è un isomorfismo tra \( T_pX \) e \(\mathbb{C} \).

Dunque direi che
\[ \phi \mapsto \left( \phi \left( \frac{\partial}{\partial x} \right), \phi \left( \frac{\partial}{\partial y} \right) \right) \]
mappa
\[ dx \mapsto (1,0 ) \]
e
\[ i dy \mapsto (0,i) \]
ma siccome i coefficienti di \( \phi \) sono in \( \mathbb{R} \) questa non è una base di \( \mathbb{C}^2 \), ottengo piuttosto una \( \mathbb{R} \)-base di \( \mathbb{C}\). Io direi che l'isomorfismo dev'essere definito in altro modo.

[3m0o]

Mmmh credo proprio che il mio errore sia dire
\[ \operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}(T_pX, \mathbb{C}) = \mathbb{R} \cdot dx \oplus i \mathbb{R} \cdot dy \]
infatti dovremmo avere

\[ \operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}(T_pX, \mathbb{C}) = \mathbb{C} \cdot dx \oplus \mathbb{C} \cdot dy \]
altrimenti non avrebbe senso la dimensione

[megas_archon]

Ricordati che devi anche dimostrare che è naturale; la mia proposta è argomentare con l'isomorfismo (naturale!) \(\hom(V,W)\otimes U\cong \hom(V,W\otimes U)\) (la tua SdR ha dimensione finita, spero!) e andare a casa in un minuto netto.

[3m0o]

Non ho capito se stavi sbeffeggiando chi ha scritto "naturale"
Comunque non so se ha dimensione finita, quello è quello che c'era scritto nel testo del esercizio.

[megas_archon]

Ma no, perché? E' effettivamente un isomorfismo naturale. "Naturale" significa una cosa precisa, non è una parola messa a caso: l'isomorfismo \(V\to V^*\) non è naturale, l'isomorfismo \(V^{**}\to V\) sì.

[3m0o]

E che vuol dire naturale?

[megas_archon]

Ma vuol dire che è la componente di una trasformazione naturale, no? Tutto a fare il fico co' ste domande di analisi e gruppi amenabili e random walk e teoria dei numeri e cose varie che fai tutto il tempo, e poi mi cadi sull'uccello su una definizione elementare!?

Vuol dire che gli argomenti dell'isomorfismo \(\hom(T_pX,\mathbb C)\cong (T_p^*X)_\mathbb C\) si possono "\(\lambda\)-astrarre" a un isomorfismo \(\hom(T_p\_,\mathbb C)\cong (T_p^*\_)_\mathbb C\) tra i funtori così determinati.

Mi sembra abbastanza standard che "superficie di Riemann" sia una varietà di dimensione finita, sicché l'isomorfismo che stai cercando è una conseguenza immediata del più generale isomorfismo \(\hom(V,W)\otimes U\cong \hom(V,W\otimes U)\) valido per ogni terna di spazi \(V,W,U\) e naturale in ciascuna delle tre componenti; quest'ultimo è valido in forza del fatto che la catena di identificazioni
\[\hom(V,W)\otimes U\cong (V^*\otimes W)\otimes U\cong V^*\otimes(W\times U)\cong \hom(V,W\otimes U)\] è naturale in ciascuno degli argomenti.

[3m0o]

Ma vuol dire che è la componente di una trasformazione naturale, no? Tutto a fare il fico co' ste domande di analisi e gruppi amenabili e random walk e teoria dei numeri e cose varie che fai tutto il tempo, e poi mi cadi sull'uccello su una definizione elementare!?

Ma calmati un attimo eh! Se non so una cosa la chiedo e penso sia così che si impara, non trovi? Poi uno studio più certe cose di altre e non mi sembra una cosa così assurda! E se non mi sono mai posto la domanda di cosa significa "naturale" semplicemente non me la sono mai posta.

Grazie della spiegazione.

[megas_archon]

Ma calmati un attimo eh!

A tenermi vivace sono solo tre cose: la caffeina, la rabbia, lo sdegno.

[dissonance]

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Ma calmati un attimo eh!

A tenermi vivace sono solo tre cose: la caffeina, la rabbia, lo sdegno.

Un tempo avrei simpatizzato. Ma poi mi sono accorto che tutte e tre queste cose fanno male, in grosse dosi. E così le ho ridotte tutte. Il me stesso di ieri penserebbe del me stesso di oggi che è un pusillanime, ma sicuramente sono più felice.

Inoltre, il cadere sull'uccello va spiegato perché secondo me 3m0o potrebbe non sapere che cosa significa. È una citazione di Mike Bongiorno. Mi ha anche fatto ridere, devo dire.