Successione che non ha sottosuccessioni convergenti

[Isaac888]

Supponiamo di avere $C^0([0,1],\mathbb{R})$ con la norma della convergenza uniforme. So che la successione $f_n(x):=x^n$ non converge in norma in $X$. Come posso dimostrare che non ha nessuna sottosuccessione convergente? Intendo tramite le definizioni e il criterio di Cauchy. Non mi sembra ovvio! Esistono successioni che pur non essendo convergenti hanno una o più sottosuccessioni convergenti.
Grazie in anticipo

[otta96]

In questo caso, la successione converge puntualmente, quindi un eventuale limite in norma (anche di una sottosuccessione), sarebbe il limite puntuale, che però non appartiene allo spazio. Per questo non esistono sottosuccessioni convergenti.

[gugo82]

Supponiamo di avere $C^0([0,1],\mathbb{R})$ con la norma della convergenza uniforme. So che la successione $f_n(x):=x^n$ non converge in norma in $X$. Come posso dimostrare che non ha nessuna sottosuccessione convergente?

Così come hai fatto per dimostrare che $f_n$ non converge.