Equazione dei polinomi di Laguerre

[DavideKern]

Buona giornata!

Al corso di Istituzioni di Meccanica Quantistica ci sono stati presentati i polinomi di Laguerre per descrivere le autofunzioni dell'hamiltoniano per l'atomo di idrogeno. In base alla nostra trattazione, essi sono funzioni del tipo \(\displaystyle L_r^s(\rho) \) che soddisfano l'equazione

\(\displaystyle \frac{d^2 L_r^s}{d\rho^2} + \left( \frac{s+1}{\rho} - 1 \right) \frac{dL_r^s}{d\rho} + \frac{r-s}{\rho} L_r^s(\rho) = 0 \;\;\;\; r\geqslant 0, \; 0\leqslant s \leqslant r \;\; (\star)\)

La formula generatrice di tali polinomi sarebbe

\(\displaystyle L_r(\rho) \equiv e^{\rho} \frac{d^r}{d\rho^r} (\rho^r e^{-\rho}) \)

\(\displaystyle L_r^s(\rho) \equiv \frac{d^s}{d\rho^s}(L_r(\rho)) \)

Questa è, grossomodo, la maniera con cui li abbiamo introdotti (in pratica ci siamo limitati a quello che ci serve per la descrizione delle funzioni d'onda, senza una trattazione formale completa). La mia domanda è: in che modo potrei dimostrare che la formula generatrice che ho scritto soddisfa l'equazione \(\displaystyle (\star) \)? Ho già provato usando il principio di induzione (in linea di principio avrei dovuto applicarlo sequenzialmente per l'indice \(\displaystyle r \) e per l'indice \(\displaystyle s \)) senza successo. Ora sto provando a verificarlo manualmente sfruttando che

\(\displaystyle \frac{d^n}{d\rho^n} f(\rho)g(\rho) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \; f^{(k)}(\rho) \; g^{(n-k)}(\rho)\)

\(\displaystyle \frac{d^{\alpha}}{d\rho^{\alpha}} \rho^{\beta} = \frac{\beta!}{(\beta - \alpha)!} \rho^{\beta - \alpha} \;\;\; \alpha \leqslant \beta\)

ma sembra che anche questa strada sia inconcludente o, quantomeno, poco elegante. Mi sapreste dare qualche dritta? Grazie in anticipo!

[ingres]

Ciao Davide

da quello che vedo, di solito si cerca una soluzione dell'equazione differenziale di partenza in termini di sviluppo in serie, si trova la relazione di ricorrenza e quindi si conclude che si tratta dei polinomi di Laguerre associati.
Vedi ad es. pagg. 9 e seguenti di questa trattazione:

http://montuorigiuseppe.it/wp-content/u ... ROGENO.pdf

[gugo82]

Ci sono vari testi sulle cosiddette funzioni speciali, dovresti esplorare... Ad esempio, mi pare che sul Bell, Special Functions for Scientists and Engineers ci sia una trattazione più o meno completa; ma non ho il testo, quindi non ti assicuro nulla.

[pilloeffe]

Ciao DavideKern,

Ho trovato questo post che potrebbe fare al caso tuo, in particolare il capitolo 3 (paragrafo 3.3, da pagina 136) e l'appendice 3 (pagine 610 e 611) del testo ivi citato, B.H. Bransden, C.J. Joachain - Physics of Atoms and Molecules, che ho trovato anche in formato .pdf qui.