integrale con funzione di Heaviside

[sofia123]

Salve a tutti,
sto studiando per l'esame di meccanica statistica e sto avendo un po' di problemi nel risolvere gli integrali, potreste spiegarmi cosa sto sbagliando ad esempio in questo
\( \int_{0}^{2^{1/3}R} r^2 dr\vartheta (\epsilon -V(1-(r/R)^3) \)
dove la theta indica la funzione di Heaviside.

ho provato a risolverlo per sostituzione \( V(1-r^3/R^3)=t \rightarrow dt=-3Vr^2/R^3 \) ma non mi sembra di arrivare a conclusioni sensate..
avete qualche suggerimento?

[pilloeffe]

Ciao sofia123,

Potresti riscrivere meglio l'integrale? Ho dei dubbi anche sull'estremo di integrazione superiore: è veramente $2^{1/3} R $? Poi chi è $\epsilon$ che compare nell'argomento della funzione di Heaviside?
Qui poi è sicuramente sbagliato:

\( \displaystyle V(1-r^3/R^3)=t \rightarrow dt=-3Vr^2/R^3 \)

Casomai, supponendo che $V$ non dipenda da $r$, sarà $\text{d}t = -3Vr^2/R^3 \text{d}r \implies r^2 \text{d}r = -1/3 R^3/V \text{d}t $
(nota che $ r^2 \text{d}r $ è proprio ciò che compare all'interno dell'integrale proposto).
Infine, attenzione che con quella posizione ovviamente cambiano gli estremi di integrazione:
per $r = 0 $ si ha $t = V$, per $r = 2^{1/3} R $ si ha $t = V(1 - (2R^3)/R^3) = - V $

[sofia123]

grazie per la risposta!
si l'estremo di integrazione è veramente quello mentre la \( \epsilon \) è una costante.
Si giusto la sostituzione dovrebbe essere
\( V(1-r^3/R^3)=t \Rightarrow dt=-3Vr^2/R^3 dr \)

quindi se non sbaglio ottengo
\( R^3/(3V)\int_{-V}^{V}\vartheta (\varepsilon -t)dt \)

[pilloeffe]

Sì, esatto.

[gugo82]

Ma perché incasinare una cosa semplice?

Chiama $I(R,V;varepsilon)$ l'integrale assegnato.
Per definizione hai:

$vartheta (varepsilon - V(1 - (r/R)^3)) = 1 \quad <=> \quad varepsilon - V(1 - (r/R)^3) >= 0 \quad <=> \quad r >= R root(3)(1- varepsilon/V)$

quindi il $I(R,V;varepsilon) = 0$ se e solo se¹:

$R root(3)(1- varepsilon/V) >= root(3)(2) R \quad <=> \quad V - varepsilon >= 2V \quad <=> \quad varepsilon <= - V$

mentre $I(R,V;varepsilon) = int_0^(root(3)(2) R) r^2 "d" r = 2/3 R^3$ solo se:

$R root(3)(1- varepsilon/V) <= 0 \quad <=> \quad V - varepsilon <= 0 \quad <=> \quad varepsilon >= V$.

Nei rimanenti casi, cioè se $-V < varepsilon < V$, hai:

$I(R,V;varepsilon) = int_(root(3)(1- varepsilon/V) R)^(root(3)(2) R) r^2 "d" r =R^3/3 (1 + varepsilon/V) = (V + varepsilon)/(3 V)\ R^3$.

L'unica cosa che (da fisico/ingegnere) avresti potuto voler eliminare dai conti è quella scomoda costante $R$, via una normalizzazione con sostituzione del tipo $t=r/R$.

---

Note

1. Qui considero $varepsilon$ come parametro e $R, V$ come roba fissata, pur non sapendo se questo sia fisicamente plausibile. ↑

[pilloeffe]

Ciao gugo82,

quindi il $ I(R,V;\varepsilon) = 0 $ se e solo se:

$ R \root(3)(1- \varepsilon/V) >= root(3)(2) R \quad <=> \quad 1 - \varepsilon >= 2V \quad <=> \quad \varepsilon <= 1 - 2V $

Questo non può essere corretto in quanto dimensionalmente parlando $[\epsilon] = [V] $
Infatti si ha:

$ V - \epsilon >= 2V \iff \epsilon \le - V $

Ma perché incasinare una cosa semplice?

Sicuro?
A me pare che sia più incasinata così come l'hai proposta: si possono fare ragionamenti analoghi a quelli che hai fatto tu a partire dall'integrale

$ R^3/(3V)\int_{-V}^{V}\theta (\epsilon - t)\text{d}t $

Da quest'ultimo per $\epsilon \ge V $ si ottiene subito $ R^3/(3V)\int_{-V}^{V}\text{d}t = 2/3 R^3 $

[gugo82]

Ciao gugo82,

quindi il $ I(R,V;\varepsilon) = 0 $ se e solo se:

$ R \root(3)(1- \varepsilon/V) >= root(3)(2) R \quad <=> \quad 1 - \varepsilon >= 2V \quad <=> \quad \varepsilon <= 1 - 2V $

Questo non può essere corretto in quanto dimensionalmente parlando $[\epsilon] = [V] $
Infatti si ha:

$ V - \epsilon >= 2V \iff \epsilon \le - V $

Ok, mi sono dimenticato un denominatore comune scrivendo in fretta.
Ora correggo, grazie.

In realtà avevo sbagliato pure qualche verso nelle disuguaglianze, ed ho corretto pure quelli.

Ma perché incasinare una cosa semplice?

Sicuro?
A me pare che sia più incasinata così come l'hai proposta: si possono fare ragionamenti analoghi a quelli che hai fatto tu a partire dall'integrale

$ R^3/(3V)\int_{-V}^{V}\theta (\epsilon - t)\text{d}t $

Da quest'ultimo per $\epsilon \ge V $ si ottiene subito $ R^3/(3V)\int_{-V}^{V}\text{d}t = 2/3 R^3 $

Questione di gusti.
Quello che mi premeva segnalare è che la definizione del gradino si può usare da subito in maniera semplice per risolvere l'esercizio.

[pilloeffe]

Ok, mi sono dimenticato un denominatore comune scrivendo in fretta.
Ora correggo, grazie.

Prego. Di solito per queste cose mando un messaggio privato, ma qui mi interessava mostrare all'OP che un errore banale causato dalla fretta, che può capitare a tutti, sottoscritto incluso, può essere smascherato abbastanza facilmente con un'analisi dimensionale.

Quello che mi premeva segnalare è che la definizione del gradino si può usare da subito [...]

Ecco, io avrei posto l'accento su un metodo alternativo di risolvere correttamente l'esercizio sfruttando la definizione del gradino piuttosto che su una presunta maggiore semplicità del metodo che hai proposto (che secondo me non sussiste, ma questi come hai giustamente scritto sono gusti e de gustibus... )

[gugo82]

"Semplicità" significa usare meno teoremi e più le mani.

[pilloeffe]

Non sono d'accordo. A parte che nel caso specifico si è fatto uso del solo teorema di sostituzione negli integrali e di poco altro, semmai è vero il contrario: la maggior parte delle dimostrazioni semplici o complesse che siano richiamano uno o più teoremi e/o lemmi già dimostrati in precedenza proprio per semplificare dimostrazioni che altrimenti sarebbero molto più incasinate...