trovare la serie di Laurent

[elisongalati98]

Salve ragazzi, ho alcuni problemi con un esercizio sulla serie di Laurent.
Allora la traccia chiede: trovare la serie di Laurent centrata in z=-1 in 0<|z+i|<5 e in |z+i|>5 della funzione
$ f(z)=1/((z+i)(z-4i)) $
ora mi è abbastanza chiaro come trovarla in 0<|z+i|<5 perché divido la funzione in fratti semplici
$ f(z)=i/(5(z+i))-i/(5(z-4i)) $
ora la prima parte è la parte singolare della serie di Laurent, per la seconda parte mi aiuto con la serie geometrica, alla fine ottengo:
$ f(z)=i/(5(z+i))-\sum_{n=0}(i^n/(5^(n+2))(z+i)^n) $
ora fin qui ci sono?
ora non capisco cosa cambia per |z+i|>5

[pilloeffe]

Ciao elisongalati98,

Allora la traccia chiede: trovare la serie di Laurent centrata in z=-1 in 0<|z+i|<5 e in |z+i|>5 della funzione

$ f(z)=1/((z+i)(z-4i)) $

No, se la traccia è effettivamente questa (sicuro che non sia centrata in $z = - i $?) non ci sei...
Peraltro centrata in $z = - i$ a me risulta la seguente:

$ f(z) = i/(5(z + i)) + \sum_{n \ge 0} (- i)^n 5^{-n - 2}(z + i)^n $

per $0 < |z + i| < 5 $

ora non capisco cosa cambia per |z+i|>5

Cambia parecchio perché la serie che hai scritto, che comunque non è quella corretta che è riportata poc'anzi, converge per $0 < |z + i| < 5 $, non per $|z + i| > 5 $: per $|z + i| > 5 $ devi scrivere un'altra serie...

[elisongalati98]

Ciao elisongalati98,

Allora la traccia chiede: trovare la serie di Laurent centrata in z=-1 in 0<|z+i|<5 e in |z+i|>5 della funzione

$ f(z)=1/((z+i)(z-4i)) $

Ciao,
si ho sbagliato a scrivere, è centrata in z=-i, comunque in che modo cambia? non saprei proprio come muovermi quando considero $ |z+i|>5 $

[pilloeffe]

non saprei proprio come muovermi quando considero $|z+i|>5$

Fammi vedere come ti sei mosso per $0 < |z + i | < 5 $. Comunque sostanzialmente devi muoverti in modo da scrivere una serie che converga per $5/|z + i| < 1 $

[elisongalati98]

non saprei proprio come muovermi quando considero $|z+i|>5$

Fammi vedere come ti sei mosso per $0 < |z + i | < 5 $. Comunque sostanzialmente devi muoverti in modo da scrivere una serie che converga per $5/|z + i| < 1 $

divido la funzione in fratti semplici
$ f(z)=i/(5(z+i))-i/(5(z-4i)) $
ora la prima parte è la parte singolare della serie di Laurent, per la seconda parte:
$ 1/5*(-i)/(z-4i+i-i)=1/5*(-i)/((z+i)-5i)=1/5*(-i)/(-5i(1-(z+i)/5i)) $

mi aiuto con la serie geometrica:
$ 1/5^2*1/(1-(z+i)/(5i))=1/5^2*\sum_{n=0}((z+i)/(5i)))^n $

alla fine ottengo:
$ f(z)=i/(5(z+i))+\sum_{n>=0}((-i)^n/(5^(n+2))(z+i)^n) $

[pilloeffe]

Ecco, da qui:

per la seconda parte:
$1/5*(-i)/(z-4i+i-i)=1/5*(-i)/((z+i)-5i) $

(attenzione che l'ultimo passaggio che hai scritto è errato, la $i$ è a denominatore: $(z + i)/(5i) $)
Basta raccogliere $(z + i) $:

$ 1/5 \cdot (-i)/((z+i)-5i) = (-i)/(5(z + i)) \cdot 1/(1-(5i)/(z + i)) $

A questo punto, sempre aiutandoti con la serie geometrica, dovresti riuscire a concludere...