Equazione differenziale lineare a coefficienti misurabili e matrice fondamentale

[thedarkhero]

Considero l'equazione differenziale lineare omogenea $\doty(t)=A(t)y(y)$ in $R^n$ con la condizione iniziale $y(t_0)=y_0$, dove la matrice $A(t)$ è misurabile (quindi non necessariamente continua).
Sia $\Phi$ la matrice fondamentale associata all'equazione differenziale di cui sopra.
Si può dimostrare che $"sup"_{0<=t_0<=t<=1}|\Phi(t,t_0)|<="costante"$?

[dissonance]

EDIT: *ATTENZIONE: LA FORMULA (1) NON È SEMPRE VERA*

Secondo me se \(A\in L^1(0, 1)\) allora si. Infatti in questo caso (assumo \(t_0=0\))
\[\tag{1}
\Phi(t, 0)=\exp\left(\int_0^t A(s)\, ds\right), \]
e quindi puoi stimare
\[
\lvert \Phi(t, 0)\rvert\le \exp\int_0^1 \lvert A(s)\rvert\, ds,\]
per \(t\in [0, 1]\), naturalmente.


P. S.: Mi sta venendo il forte dubbio che (1) non sia vero. La formula (1) è vera solo se \([A(t), A(s)]=0\) per \(t\ne s\): vedi qui.

Senza ipotesi di commutatività è più complicato. Tocca andare a leggere questa roba qui e io per il momento non avrò tempo di farlo di sicuro:

https://en.wikipedia.org/wiki/Dyson_series

[thedarkhero]

Beh ma se $A$ è definita sull'intervallo $[0,1]$ ed è misurabile allora $A \in L^1(0,1)$ giusto?

Per ottenere la stima che hai dimostrato, oltre ad assumere $t_0=0$ hai assunto anche $y_0=0?$

[dissonance]

E no. Una funzione misurabile mica per forza è \(L^1\), questa è una cosa elementare. La funzione
\[
A(t)=\begin{cases}
1/t, & t\ne 0, \\
0, & t=0,
\end{cases}\]
non è \(L^1(0, 1)\).

Il fatto di assumere \(t_0=0\) è irrilevante. Quanto a \(y_0\), cosa c'entra? La matrice fondamentale è una matrice, non dipende dal dato iniziale. D'altra parte l'unica soluzione dell'equazione del tuo post, con \(y_0=0\), è la funzione nulla.

Ma attenzione perché nel post precedente temo di avere implicitamente assunto che \(A(t)\) e \(A(s)\) commutano per ogni \(t\ne s\). Se non hai questa ipotesi di commutazione, allora la formula (1) del mio post precedente non è più vera.

[thedarkhero]

Nel mio caso $A(t)=f_x^T(t,\hatx(t),\hatu(t))$, dove $f:[0,1] \times RR^d \times \Gamma \to RR^d$ (con $\subseteq RR^m$), $\hatx:[0,1] \to RR^d$ è una traiettoria ottima di un problema di controllo ottimo (quindi è assolutamente continua) e $\hatu:[0,1] \to \Gamma$ è un controllo ottimo (misurabile).
Le ipotesi che ho su $f$ sono le seguenti:
$f(\cdot,\cdot,\cdot)$ è continua;
$f$ è continua rispetto a $(t,x)$, uniformemente in $u \in \Gamma$;
per ogni $(t,u) \in [0,1] \times \Gamma$ si ha che $f(t,\cdot,u)$ è differenziabile con continuità;
$f$ è globalmente lipschitziana in $x$;
$|f(t,x,u)|\leK(1+|x|)$ $AA x \in RR^d$.
Considerando anche queste ipotesi posso dire qualcosa in più sulla limitatezza della matrice fondamentale?

[dissonance]

Come la vedo dura. Non lo so.

[thedarkhero]

Non vale un argomento del tipo che la matrice fondamentale è continua in entrambe le variabili?
Perchè allora potrei concludere che sul compatto ${(t,t_0):0<=t_0<=t<=1}$ ho che $\Phi$ ammette massimo e quindi in particolare è limitata...

[dissonance]

Considero l'equazione differenziale lineare omogenea $\doty(t)=A(t)y(y)$ in $R^n$ con la condizione iniziale $y(t_0)=y_0$, dove la matrice $A(t)$ è misurabile (quindi non necessariamente continua).
Sia $\Phi$ la matrice fondamentale associata all'equazione differenziale di cui sopra.
Si può dimostrare che $"sup"_{0<=t_0<=t<=1}|\Phi(t,t_0)|<="costante"$?

No. Questo enunciato è falso. Esempio per \(n=1\):

Consideriamo il problema
\[
\begin{cases}
\dot{y}(t)=-\frac{1}{t^2} y(t), &t>0, \\
y(1)=y_0.
\end{cases}
\]
Il coefficiente \(-1/t^2\) si intende valere \(0\) per \(t=0\). Non è una funzione continua, ma è una funzione misurabile. Quindi rientra nelle ipotesi del quote.

La soluzione del problema è
\[
y(t)=\exp\left( \int_{1}^t \frac{-1}{s^2}\, ds\right)y_0.\]
La domanda di sopra si riduce a chiedere se la funzione
\[
\exp\left( \int_{1}^t \frac{-1}{s^2}\, ds\right)\]
sia limitata. E la risposta è chiaramente no perché
\[
\exp\left( \int_{1}^t \frac{-1}{s^2}\, ds\right)=\exp\left( \frac13(1+t^{-1})\right),\]
che tende a \(+\infty\) per \(t\to 0\).

[thedarkhero]

Ho trovato un teorema interessante sul libro Introduction to the Mathematical Theory of Control di Bressan-Piccoli.

Teorema: sia $t \to A(t)$ una funzione misurabile e sia $|A(t)|<L$ per qualche costante $L$ e per tutti i $t \in [a,b]$. Allora per ogni $t_0 \in [a,b]$ a per ogni condizione iniziale $y_0 \in RR^n$ il problema di Cauchy $\doty=A(t)y$, $y(t_0)=y_0$ ha un'unica soluzione definita sull'intero intervallo $[a,b]$. Inoltre si ha che $|y(t)|\lee^{L|t-t_0|}|y_0|$.

Credo che per soluzione si intenda una funzione assolutamente continua che risolve l'equazione quasi ovunque.

Questo teorema mi consente di dedurre che la matrice fondamentale è limitata sull'intervallo $[a,b]$?

[thedarkhero]

Provo ad azzardare un'argomentazione più precisa:
Dalle ipotesi so che per ogni $(t,u) \in [0,1] \times \Gamma$ si ha che $f(t,\cdot,t)$ è differenziabile con continuità e che $f$ è globalmente lipschitziana in $x$ (con costante di Lipschitz $K$), ne segue che $|f_x^T(\cdot,\cdot,\cdot)|\leK$.

Allora per il teorema che ho riportato nel messaggio precedente sono garantite esistenza ed unicità della soluzione $y(t)$ per qualsiasi dato iniziale e inoltre vale $|y(t)|\lee^{K|t-t_0|}|y_0|<=e^K|y_0|$.

Per ogni dato iniziale $y_0$ ho che $y(t)=\Phi(t,t_0)y_0$, dunque $|\Phi(t,t_0)y_0|=|y(t)|<=e^K|y_0|$.
Allora $|\phi(t,t_0)|="sup"_{y_0 !=0}\frac{|\Phi(t,t_0)y_0|}{|y_0|} \le "sup"_{y_0 !=0}\frac{e^K|y_0|}{|y_0|}=e^K$.

Ho così provato che $"sup"_{s\let_0\let\le1}|\Phi(t,t_0)|\lee^K$. Giusto?