Equazione differenziale lineare a coefficienti misurabili e matrice fondamentale

[dissonance]

Non lo so bene, stai cambiando continuamente la domanda e mi risulta faticoso andare a leggere ogni volta le nuove ipotesi. Quanto scrivi nell'ultimo post sembra corretto, comunque, a parte qualche ovvio typo (che rende la lettura ancora più faticosa). Ad esempio quella stima $|y(t)|\le e^K |t-t_0| |y_0|$ è chiaramente sbagliata.

[thedarkhero]

Corretto il typo che mi hai segnalato, grazie mille!

Riguardo le ipotesi non mi sembra di averle cambiate, sono sempre quelle che ho scritto qui:

Nel mio caso $A(t)=f_x^T(t,\hatx(t),\hatu(t))$, dove $f:[0,1] \times RR^d \times \Gamma \to RR^d$ (con $\subseteq RR^m$), $\hatx:[0,1] \to RR^d$ è una traiettoria ottima di un problema di controllo ottimo (quindi è assolutamente continua) e $\hatu:[0,1] \to \Gamma$ è un controllo ottimo (misurabile).
Le ipotesi che ho su $f$ sono le seguenti:
$f(\cdot,\cdot,\cdot)$ è continua;
$f$ è continua rispetto a $(t,x)$, uniformemente in $u \in \Gamma$;
per ogni $(t,u) \in [0,1] \times \Gamma$ si ha che $f(t,\cdot,u)$ è differenziabile con continuità;
$f$ è globalmente lipschitziana in $x$;
$|f(t,x,u)|\leK(1+|x|)$ $AA x \in RR^d$.
Considerando anche queste ipotesi posso dire qualcosa in più sulla limitatezza della matrice fondamentale?

[dissonance]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Mi riferivo questa roba qui. Era questa la domanda iniziale. Poi dopo è risultato che non te ne importava un granché, mi pare.

Considero l'equazione differenziale lineare omogenea $\doty(t)=A(t)y(y)$ in $R^n$ con la condizione iniziale $y(t_0)=y_0$, dove la matrice $A(t)$ è misurabile (quindi non necessariamente continua).
Sia $\Phi$ la matrice fondamentale associata all'equazione differenziale di cui sopra.
Si può dimostrare che $"sup"_{0<=t_0<=t<=1}|\Phi(t,t_0)|<="costante"$?

[thedarkhero]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Mi riferivo questa roba qui. Era questa la domanda iniziale. Poi dopo è risultato che non te ne importava un granché, mi pare.

Considero l'equazione differenziale lineare omogenea $\doty(t)=A(t)y(y)$ in $R^n$ con la condizione iniziale $y(t_0)=y_0$, dove la matrice $A(t)$ è misurabile (quindi non necessariamente continua).
Sia $\Phi$ la matrice fondamentale associata all'equazione differenziale di cui sopra.
Si può dimostrare che $"sup"_{0<=t_0<=t<=1}|\Phi(t,t_0)|<="costante"$?

La domanda iniziale era riferita al caso generale di un sistema lineare qualsiasi e la conclusione a cui siamo giunti è che la proprietà di limitatezza che ho richiesto in generale non vale, ho quindi riformulato la domanda in un caso specifico in cui mi sono trovato e la risposta a cui siamo giunti è che in quel caso vale. Ed in conclusione abbiamo capito che in generale la proprietà che ho richiesto è garantita se il coefficiente $A(t)$ è limitato.
Tutto questo per dire che non mi sembra di aver chiesto cose di cui non mi importava nulla, semplicemente a mano a mano che grazie ai tuoi consigli mi si chiarivano alcune cose ho cercato di arrivare ad una risposta che fosse il più generale possibile e che non si limitasse al caso specifico delle ipotesi particolari che ho riportato.