Misura di Lebesgue di un grafico

[andreadel1988]

Sia $f:[a,b]->RR$ Riemann-integrabile. Provare che $graf(f)={(x,f(x))inRR^2| x in[a,b]}$ ha $L^2$-misura nulla (dove $L^2$ è la misura di Lebesgue in dimensione $2$).
Allora mi basta dimostrare che presa $u^**$ misura esterna di $L^2$ si ha che $AAepsilon>0$ $EE{R_i}_i$ ricomprimento Lebesguiano di $graf(f)$ tali che $\sum_{i=0}^(+\infty) u^**(R_i)<epsilon$. Intanto sono partito dal criterio di Riemann: siccome f è Riemann-integrabile allora $AAepsilon>0$ $EEsigma_epsilonin\Omega[a,b]$ tale che $S(f,sigma_epsilon)-s(f,sigma_epsilon)>epsilon$ ovvero $\sum_{j=0}^(n)(su p_(I_j)(f)-i nf_(I_j)(f))(x_j-x_(j-1))<epsilon$ dove $I_j=[x_(j-1),x_j]$. Considero quindi i rettangoli della forma $R_j=[x_(j-1),x_j]xx[i nf_(I_j)(f),su p_(I_j)(f)]$, abbiamo che $\sum_{j=0}^(n)u^**(R_j)<epsilon$. Poi sappiamo che per ogni $R_j$ $EE{R_k^((j))}_k$ ricoprimento Lebesguiano di $R_j$ tale che $u^**(R_j)=\sum_{k=0}^(+\infty) u^**(R_k^((j)))$. Quindi otteniamo che $\sum_{i=0}^(+\infty)u^**(R_i^((j)))<epsilon$, da cui segue la tesi. L'ultima parte non so se si può dire meglio, ditemi voi.

[Mephlip]

Moderatore: Mephlip

Le domande di teoria della misura vanno fatte nella sezione di analisi superiore. Sposto.

[otta96]

$S(f,sigma_epsilon)-s(f,sigma_epsilon)>epsilon$

Minore.
Per l'ultima parte, non potevi fare a meno di tirare fuori ${R_k^((j))}_k$?

[andreadel1988]

Per l'ultima parte, non potevi fare a meno di tirare fuori ${R_k^((j))}_k$?

Eh in teoria non credo che posso mandare $n->+\infty$ nella sommatoria $ \sum_{j=0}^(n)u^**(R_j)<epsilon $, quindi in qualche modo devo trovare un ricoprimento Lebeguiano della funzione che a che fare con i rettangoli $R_J$ e quindi mi è venuto in mente così, ma non so.

[otta96]

Ma non devi mandare $n$ a infinito.

[andreadel1988]

Ma non devi mandare $n$ a infinito.

Scusa ma non devo ottenere $ \sum_{i=0}^(+\infty) u^**(R_i)<epsilon $?

[otta96]

Ma $R_i$ non è mica una successione.

[andreadel1988]

Ma $R_i$ non è mica una successione.

No no, sono una famiglia numerabile di rettangoli che forma un ricoprimento Lebesguiano di $graf(f)$

[otta96]

Ma cosa intendi di preciso con ricoprimento Lebesguiano ?

[andreadel1988]

Ma cosa intendi di preciso con ricoprimento Lebesguiano ?

Ti do la definizione che mi hanno detto: Sia $AsubeRR^n$. Chiamiamo ricoprimento Lebesguiano di $A$ ogni famiglia numerabile $(R_i)_(iinNN)$ dove $R_i$ sono rettangoli oppure il vuoto e $Asube\uu_{i=1}^(+\infty)R_i$. Allora poniamo (misura esterna di Lebesgue in $RR^n$) $u^**(A)=i nf{\sum_{i=1}^(+\infty) u^**(R_i)|(R_i)_i$ ricoprimento Lebesguiano di $A}$.