Misura esterna di Lebesgue su $[0,1]\\QQxx[0,1]$

[andreadel1988]

Sia $u^**$ la misura esterna di Lebesgue in $2$ dimensioni. Mostrare che $u^**([0,1]\\QQxx[0,1])=1$.
Non ho una precisa idea di come farlo, pensavo o di sfruttare qualche proprietà delle misure esterne oppure forse che:

$u^**([0,1]\\QQxx[0,1])="inf"\{\sum_{i=0}^(+\infty) u^**(R_i)| (R_i)_i text( è un ricoprimento Lebesguiano di ) [0,1]\\QQxx[0,1]\}$.

Un aiuto? Grazie.

[gugo82]

Beh, prova a buttar giù un ragionamento, poi si vede.

Hai fatto un disegno? Cosa vedi?

[andreadel1988]

Hai fatto un disegno? Cosa vedi?

Il disegno dovrebbe essere all'incirca questo:


Se provo a usare dei rettangoli che racchiudono ognuno una singola linea (quindi altezza $1$ e base $2epsilon$ con epsilon che tende a 0)? Ma come faccio a sapere effettivamente che si tratta della più piccola misura che posso fare?

[gugo82]

Hai fatto un disegno? Cosa vedi?

Il disegno dovrebbe essere all'incirca questo:

Se provo a usare dei rettangoli che racchiudono ognuno una singola linea (quindi altezza $1$ e base $2epsilon$ con epsilon che tende a 0)?

Buona fortuna, perché $[0,1] \\ QQ$ non è numerabile...

Ad ogni buon conto, è facile rendersi conto che la misura esterna è $<=1$: come? Perché?

[andreadel1988]

Ad ogni buon conto, è facile rendersi conto che la misura esterna è $<=1$: come? Perché?

Siccome $u^**$ è misura esterna ed $[0,1]\\QQxx[0,1]sub[0,1]xx[0,1]$, allora per monotonia di $u^**$ abbiamo che $u^**([0,1]\\QQxx[0,1])<=u^**([0,1]xx[0,1])=1$

[gugo82]

Per sapere se il ragionamento che proponi è valido dovremmo sapere come avete portato avanti la costruzione della misura esterna (a proposito: perché $u^**$ e non $mu^**$?) e quali proprietà ti sono note o sono state dimostrate.

Non potresti fare altrimenti?
Ad esempio, cosa accade se supponi per assurdo che $mu^**(E) < 1$ (qui $E:=([0,1] \\ QQ) xx [0,1]$ per comodità)?

[andreadel1988]

Allora ricomincio da capo poichè mi sembra di aver trovato una buona strada:
Siccome $u^**$ è misura esterna ed $[0,1]\\Q×[0,1]⊂[0,1]×[0,1]$, allora per monotonia di $u^**$ abbiamo che $u^**([0,1]\\Q×[0,1])≤u^**([0,1]×[0,1])=1$.
Consideriamo l'insieme $[0,1]nnQQxx[0,1]$, sappiamo che $QQ$ è numerabile percio possiamo scrivere $[0,1]nnQQ={q_n|ninNN}$. Abbiamo quindi che $u^**([0,1]nnQQxx[0,1])=u^**(\uu_{n=1}^(+infty){q_n}xx[0,1])$. Abbiamo che $\uu_{n=1}^(+infty){q_n}xx[0,1]$ è un unione numerabile e $u^**({q_n}xx[0,1])=0$ per ogni $ninNN$ poichè sono rettangoli degeneri in $RR^2$. Ma allora sapendo che unioni numerabili di insiemi di misura nulla hanno misura nulla, vale che $u^**([0,1]nnQQxx[0,1])=0$.
Infine abbiamo che $1=u^**([0,1]xx[0,1]))=u^**(([0,1]\\QQxx[0,1])uu([0,1]nnQQxx[0,1]))$ usando la sub-addivitività di una misura esterna otteniamo che $1<=u^**([0,1]\\QQxx[0,1])+u^**([0,1]nnQQxx[0,1])=u^**([0,1]\\QQxx[0,1])$. Per cui abbiamo che $u^**([0,1]\\Q×[0,1])≤1$ e $u^**([0,1]\\QQxx[0,1])>=1$ quindi necessariamente $u^**([0,1]\\Q×[0,1])=1$

[gugo82]

Sì, bene.

Un ultima cosa: perché siamo sicuri che $([0,1]\\ QQ) xx [0,1] $ sia $u^**$-misurabile?

[andreadel1988]

Sì, bene.

Un ultima cosa: perché siamo sicuri che $([0,1]\\ QQ) xx [0,1] $ sia $u^**$-misurabile?

Sappiamo che $u^**(([0,1]nn QQ) xx [0,1])=0$ quindi è $u^**$-misurabile, ma allora anche il suo complementare è $u^**$-misurabile, ma il suo complementare è $([0,1]\\ QQ) xx [0,1] $. A proposito di misurabilità il nostro professore ci ha lssciato da dimostrare che $Vxx[0,1]$ (dove V è l'insieme di Vitali) non è $L^2$-misurabile. Il modo canonico è quello ripercorrere similmente la dimostrazione per cui $V$ non è misurabile e su questo non ci sono dubbi, pero il professore ha detto che c'è un idea piu brillante per dimostrare che $Vxx[0,1]$ non è $L^2$-misurabile. Sto provando a vedere un po come "cacciare" questa idea brillante, ma per adesso non sono ancora riuscito, tu hai qualche idea?

[andreadel1988]

Stavo pensando a qualcosa del tipo suppongo per assurdo che $Vxx[0,1]$ sia misurabile...