Esercizio di Analisi Funzionale

[olvi]

Ciao ragazzi! Sto finendo di preparare Analisi Funzionale e avrei qualche esercizio che non riesco a portare a termine; dopo tanti anni di matematica sono ancora una frana a "inventare" le dimostrazioni...

Il primo è semplice, ma non riesco a concludere la seconda parte:

Considera gli spazi normati $ X:= (C[0,1] , norm(*)_oo) $ e $ Y:= (C[0,1], norm(*)_1) $ con le norme date da $ norm(f)_oo := max_{0 <= x <=1} |f(x)| $ e $ norm(f(x))_1:=\int_{0}^{1}|f(x)|dx$.

Dimostra che la mappa biiettiva $ I:X \rightarrow Y$ data da $I(f)=f$ è continua ma non è una mappa aperta.

Tutto ok con la continuità; poi ho provato a dimostrare per assurdo il fatto che la mappa non sia aperta, ma non trovo una degna conclusione. Se $I$ fosse aperta ogni aperto di $C[0,1]$ rispetto alla norma infinito sarebbe anche aperto rispetto alla norma 1. Come trovo la contraddizione?
Se qualcuno accorresse in mio aiuto gliene sarei molto grata!

Grazie in anticipo!

[otta96]

Considera $B_\infty=B_(||.||_\infty)(0,1)$.

[dissonance]

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Ciao ragazzi! Sto finendo di preparare Analisi Funzionale e avrei qualche esercizio che non riesco a portare a termine; dopo tanti anni di matematica sono ancora una frana a "inventare" le dimostrazioni...

Nell'altro esercizio, quello sul grafico chiuso, mi hai fatto una buona impressione. Anche la maniera che hai di porre le domande denota maturità matematica. Secondo me hai il potenziale per un ottimo esame.