$sin(x)/x$ non è integrabile secondo Lebesgue

[andreadel1988]

Mostrare che $sin(x)/x$ in $[1,+infty[$ non è integrabile secondo Lebesgue.
Essendo all'inizio della teoria di Lebesgue il professore ci ha dato il suggerimento di mostrare che $C(x)=max{sin(x)/x,0}>=0$ ha integrale di Lebesgue $+infty$ (rispetto alla misura $L^1$) in $[1,+infty[$
( analogamente dovrebbe essere per la funzione $max{-sin(x)/x,0}$).Allora io ho osservato che $|sin(x)/x|>=sin^2(x)/x$ e che la funzione $sin(x)/x$ in $[1,+infty[$ si annulla nei punti $npi$ con $ninNN>1$, però non so come andare avanti, qualcuno mi sa dire ?

[andreadel1988]

Io avevo pensato di fare cosi, ma non so se può andar bene: (metto le foto perchè alcuni simboli non saprei come scriverli e quindi ci sarebbe molta confusione)

[pilloeffe]

Ciao andreadel1988,

Nelle foto che hai postato non riesco a leggere praticamente un tubo, ma potresti dare un'occhiata all'Esempio 2 a pagina 2 di questo documento:
https://people.dm.unipi.it/tarsia/didamat0910/intimpintleb.pdf

[gugo82]

Se n'è parlato tanto in passato... Tanto che era diventato un mio cavallo di battaglia.
Puoi vedere ad esempio qui e qui (sono due miei post consecutivi nello stesso thread), con la dimostrazione fatta "con le mani e col sudore della fronte", o qui (sempre nel medesimo thread), per una versione meno artigianale ma assolutamente efficace.

[andreadel1988]

Ciao andreadel1988,

Nelle foto che hai postato non riesco a leggere praticamente un tubo...

Ma non riesci a leggere la mia scrittura o la foto? Perche a me sembra che la foto si veda abbastanza bene.

[andreadel1988]

Se n'è parlato tanto in passato... Tanto che era diventato un mio cavallo di battaglia.
Puoi vedere ad esempio qui e qui (sono due miei post consecutivi nello stesso thread), con la dimostrazione fatta "con le mani e col sudore della fronte", o qui (sempre nel medesimo thread), per una versione meno artigianale ma assolutamente efficace.

Grazie, ho dato un occhiata, ma come ti ho detto siccome sto all'inizio di questa teoria alcuni passaggi non mi sono chiari (ancora non li abbiamo visti). Io ho provato a usare le poche cose che so ora come mostrato nella foto, però se ci vuole una teoria più estesa allora aspetterò (in teoria il professore ha detto che potevamo già "farlo" ragionando per vie semplici pero ha anche detto che se non ci riuscivamo di aspettare).

[gugo82]

Guarda che quelle risposte lì sono robe di Analisi 0,5 (neanche Analisi I...).

Se c'è qualcosa di non chiaro, chiedi pure.

[andreadel1988]

Guarda che quelle risposte lì sono robe di Analisi 0,5 (neanche Analisi I...).

Se c'è qualcosa di non chiaro, chiedi pure.

Già il fatto che liquidi un integrale lebesguiano come un normale integrale non mi quadra... Poi teoricamente a me è stato detto che per mostrare che questo integrale non è misurabile basta mostrare che l'integrale lebesguiano della parte positiva di $f$ e quella negativa di $f$ sono entrambi $+infty$ ... Non mi ci ritrovo. Forse ho capito male io quello che hai scritto.

[gugo82]

Guarda che quelle risposte lì sono robe di Analisi 0,5 (neanche Analisi I...).

Se c'è qualcosa di non chiaro, chiedi pure.

Già il fatto che liquidi un integrale lebesguiano come un normale integrale non mi quadra...

Anche il fatto che usi 'lebesguiano' non mi quadra (e mi lede il nervo ottico )...

Ad ogni buon conto, il fatto che l'integrale di Lebesgue di $(sin x)/x$ coincida con l'integrale improprio è una conseguenza di un teorema fondamentale della teoria (se una funzione continua positiva è integrabile secondo Riemann o in senso improprio allora essa è integrabile pure secondo Lebesgue ed i due integrali coincidono).

Poi teoricamente a me è stato detto che per mostrare che questo integrale non è misurabile [...]

La misurabilità non è una proprietà dell'integrale, ma delle funzioni.
Quindi non ha senso dire "integrale non misurabile".
E, d'altra parte, la misurabilità della funzione $(sin x)/x$ è ovvia, per un altro teorema fondamentale della teoria (ogni funzione continua è misurabile nel senso di Lebesgue).

[..] basta mostrare che l'integrale lebesguiano della parte positiva di $f$ e quella negativa di $f$ sono entrambi $+infty$...

Dipende dalla definizione di integrabilità che ti ritrovi.
Usualmente, $f$ (di segno qualsiasi) è integrabile secondo Lebesgue su uno spazio di misura $X$ se è integrabile secondo Lebesgue su $X$ la funzione non negativa $|f|$ ed ha integrale finito, ossia se le parti non negativa e non positiva $f^+$ ed $f^-$ (entrambe funzioni non negative) hanno entrambe integrale finito. In questo modo, la classe delle funzioni integrabili su $X$ coincide con quella delle funzioni sommabili, cioè $L^1(X)$.

Altri autori richiedono, in maniera più debole, che almeno uno degli integrali di $f^+$ ed $f^-$ sia finito, ma questo genera problemi (perché la classe delle funzioni integrabili non coincide più con $L^1(X)$).

Non mi ci ritrovo. Forse ho capito male io quello che hai scritto.

Il punto è che se non conosci ancora i punti focali della teoria non puoi ritrovarti lì dentro.

[andreadel1988]

Usualmente, $f$ (di segno qualsiasi) è integrabile secondo Lebesgue su uno spazio di misura $X$ se è integrabile secondo Lebesgue su $X$ la funzione non negativa $|f|$ ed ha integrale finito, ossia se le parti non negativa e non positiva $f^+$ ed $f^-$ (entrambe funzioni non negative) hanno entrambe integrale finito. In questo modo, la classe delle funzioni integrabili su $X$ coincide con quella delle funzioni sommabili, cioè $L^1(X)$.

Ok, quindi se mostro che $|f|$ non ha integrale finito allora automaticamente $f$ non è integrabile secondo Lebesgue.