Differenza tra "misura nulla" e "quasi dappertutto"

[andreadel1988]

Mi sono imbattuto in un dilemma esistenziale, presa $f:[a,b]->RR$ dire quali implicazioni sussistono fra( dove $L^1$ misura di Lebesgue in $RR$):
1) ${x in[a,b]| f$ discontinua in $x}$ ha $L^1$-misura nulla.
2) $f$ coincide $L^1$-quasi dappertutto con una funzione continua.
A me verrebbe da dire che una implica l'altra dato che la 2) per definizione ci dice che l'insieme dei punti $[a,b]$ in cui $f$ non è continua (ovvero discontinua) ha $L^1$-misura nulla, ma questa coincide 1).
Credo però che in realtà siano profondamente diverse, ma non riesco a venirne fuori (forse do una definizione sbagliata di $L^1$-quasi dappertutto? Oppure nascostamente una tra 1) e 2) intende la misura nulla sui singoli punti di discontinuità?). Se qualcuno riesce a farmi capire, grazie.

[pilloeffe]

Ciao andreadel1988,

Beh, il termine quasi ovunque (spesso abbreviato in q.o., oppure in a.e. dall'inglese almost everywhere) definisce una proprietà che vale in tutti i punti di un insieme, tranne al più in un sottoinsieme di misura nulla. Naturalmente, affinché tale nozione sia ben posta, è necessario che sull'insieme in questione sia definito uno spazio di misura.

[andreadel1988]

Ciao andreadel1988,

Beh, il termine quasi ovunque (spesso abbreviato in q.o., oppure in a.e. dall'inglese almost everywhere) definisce una proprietà che vale in tutti i punti di un insieme, tranne al più in un sottoinsieme di misura nulla. Naturalmente, affinché tale nozione sia ben posta, è necessario che sull'insieme in questione sia definito uno spazio di misura.

Si si ovviamente definisco il tutto su uno spazio di misura con misura $L^1$ di Lebesgue in $RR$. A me stato spiegato che una proprietà vale quasi ovunque se l'insieme dei punti in cui essa non vale ha misura nulla. Per farti capire se consideriamo la funzione segno per la 1) abbiamo $ {x in[a,b]| f $ discontinua in $ x}={0}$ e 2) se considero l'insieme dei punti in cui la funzione segno non è continua sarebbe sempre {0}, quindi avremmo che 1) vale se e solo se 2) vale. Ora ovviamente un esempio non fa al teoria ma come ho detto prima a me pare che i due insiemi definiti in 1) e 2) siano sempre uguali, però non dovrebbe valere che 1) vale se e solo se 2), se mi puoi spiegare meglio anche facendo dei controesempi per entrambe tipo, che capisco la differenza

[pilloeffe]

Non so se è proprio questo che intendi, ma per ovviare ad alcune ambiguità si parla spesso di proprietà valide q.o. e di proprietà valide a meno di equivalenza q.o. Consideriamo ad esempio le due funzioni reali seguenti:

$ f(x) = {(0 \text{ se } x \ne 0),(1 \text{ se } x = 0):} $

e

$ g(x) = \text{sgn}(x) = {(- 1 \text{ se } x < 0), (\text{ } 0 \text{ se } x = 0),(\text{ } 1 \text{ se } x > 0):} $

La funzione $f$ è continua a meno di equivalenza q.o., nel senso che esiste una funzione continua (in questo caso la funzione identicamente nulla), che è uguale ad $f$ a meno di un insieme di misura nulla (l'insieme costituito dal solo punto $x = 0$); invece la funzione $g$ è q.o. continua: l'insieme dei punti su cui non è continua ha misura nulla (essendo costituito dal solo punto $x = 0$), ma non vi è alcuna funzione continua che sia uguale a $g$ q.o.

[andreadel1988]

Non so se è proprio questo che intendi, ma per ovviare ad alcune ambiguità si parla spesso di proprietà valide q.o. e di proprietà valide a meno di equivalenza q.o. Consideriamo ad esempio le due funzioni reali seguenti:

$ f(x) = {(0 \text{ se } x \ne 0),(1 \text{ se } x = 0):} $

e

$ g(x) = \text{sgn}(x) = {(- 1 \text{ se } x < 0), (\text{ } 0 \text{ se } x = 0),(\text{ } 1 \text{ se } x > 0):} $

La funzione $f$ è continua a meno di equivalenza q.o., nel senso che esiste una funzione continua (in questo caso la funzione identicamente nulla), che è uguale ad $f$ a meno di un insieme di misura nulla (l'insieme costituito dal solo punto $x = 0$); invece la funzione $g$ è q.o. continua: l'insieme dei punti su cui non è continua ha misura nulla (essendo costituito dal solo punto $x = 0$), ma non vi è alcuna funzione continua che sia uguale a $g$ q.o.

Ok, credo di aver capito:

Consideriamo la funzione segno $f$ nell'intervallo $[-1,1]$, abbiamo che ${x in[-1,1]| f$ discontinua in $x}={0}$ ha $L^1$-misura nulla, mentre $f$ non coincide $L1$-quasi dappertutto con una funzione continua, poichè non esiste una funzione continua che sia uguale a $f$ q.o. (questo perchè in $[-1,0[$ l'unica funzione continua uguale a $f$ sarebbe la funzione costante $-1$, mentre in $]0,1]$ l'unica funzione continua uguale a $f$ sarebbe la funzione costante $1$ e una funzione continua che sia uguale a $f$ q.o. in $[-1,0[$ deve essere uguale alla funzione costante $-1$ mentre in $]0,1]$ deve essere uguale alla funzione costante $1$, ma in questo modo non è continua in $0$). Quindi questo ci dice che 1) non implica 2).


Consideriamo ora invece la funzione $f(x)={(text(Dirichlet) ,if x in[0,1]),(x=0,if x in[1,2]):}$, abbiamo che esiste una funzione continua (in questo caso la funzione identicamente nulla), che è uguale ad $f$ q.o. (ovvero tranne in $[0,1]$), ma ${x in[0,2]| f$ discontinua in $x}=[0,1]$ e $L^1[0,1]=1!=0$ quindi 2) non implica 1).

Può andare bene?

[andreadel1988]

Riscrivo meglio la parte per cui la funzione $sgn(x)$ non coincide quasi dappertutto con una funzione
continua:
supponiamo per assurdo che la funzione $sgn(x)$ coincida quasi dappertutto con una funzione
continua $f$, ma allora siccome $AAdelta>0$ gli insieme $(-delta,0)$ e $(0,delta)$ non hanno misura nulla allora $f$ deve coincidere con $sgn(x)$ da qualche parte in questi due insiemi, ovvero $EEx_1in(0,delta)$ tale che $f(x_1)=1$ e $EEx_2in(-delta,0)$ tale che $f(x_2)=-1$. Ora siccome $f$ è continua per definizione di funzione continua in $0$ si ha che $AAepsilon>0$ $EEdelta(epsilon)>0$ tale che $AAx in(-delta(epsilon),delta(epsilon))$ si ha $abs(f(x)-f(0))<epsilon$. Supponiamo ora che $f(0)!=1$ e prendiamo $epsilon=abs(1-f(0))/2$, per quanto detto prima $EEx_1in(0,delta(epsilon))sube(-delta(epsilon),delta(epsilon))$ tale che $f(x_1)=1$, e si ha che $abs(f(x_1)-f(0))=abs(1-f(0))>epsilon$, assurdo per continuità di $f$. Se invece abbiamo che $f(0)!=-1$ e prendiamo $epsilon=abs(-1-f(0))/2$, per quanto detto prima $EEx_2in(-delta(epsilon),0)sube(-delta(epsilon),delta(epsilon))$ tale che $f(x_2)=-1$ e si ha che $abs(f(x_2)-f(0))=abs(-1-f(0))>epsilon$, assurdo per continuità di $f$.
Quindi non esiste una funzione continua che coincide quasi dappertutto con $sgn(x)$.
Se c'è qualcosa di sbagliato ditemi pure!

[dissonance]

Mi sono imbattuto in un dilemma esistenziale, presa $f:[a,b]->RR$ dire quali implicazioni sussistono fra( dove $L^1$ misura di Lebesgue in $RR$):
1) ${x in[a,b]| f$ discontinua in $x}$ ha $L^1$-misura nulla.
2) $f$ coincide $L^1$-quasi dappertutto con una funzione continua.

2=>1 e non vale il viceversa (prendi come controesempio la funzione segno, proprio come nel tuo ultimo post)