andreadel1988 ha scritto:Sia $EsubeRR^n$ di $L^n$-misura nulla. Provare che $RR^n\\E$ è denso in $RR^n$.
Mi basta mostrare che la parte interna di $E$ è vuota. Intanto definiamo $\mu^**$ la misura esterna di $L^n$. Abbiamo che $Int(E)subeE$ per cui per monotonia $u^**(Int(E))<=u^**(E)=0$, ma poichè le misure sono positive allora $u^**(Int(E))=0$ per cui $Int(E)$ è $L^n$-misurabile e $L^n(Int(E))=0$. Se per assurdo $Int(E)!=∅$ allora siccome $Int(E)$ è aperto preso $x inE$ $EEr>0$ tale che $B(x,r)subeInt(E)$. Per gli stessi ragionamenti di prima si ha che $B(x,r)$ è $L^n$-misurabile e $L^n(B(x,r))=0$, ma siccome $r>0$ allora $B(x,r)notinRR^(n-1)$ e perciò non può avere misura nulla. Quindi necessariamente $Int(E)=∅$. Intanto volevo sapere se fosse tutto corretto e poi se ci fosse un modo più "semplice e diretto" per risolverlo, grazie.
Comunque, riprendendo meglio l'argomento suppongo per assurdo che la parte interna di $E$ sia diversa dal vuoto, quindi esiste un aperto non vuoto contenuto in $E$ e per definizione di aperto di $RR^n$ posso prendere un aperto della base, un rettangolo aperto $n$-dimensionale poichè la topologia prodotto coincide con quella euclidea, tutto contenuto in questo aperto, ma il rettangolo aperto ha misura positiva (definito come il prodotto degli $n$-lati) e ciò sarebbe assurdo poichè è contenuto in un insieme di misura nulla.
Un esempio: se $(x_1,...,x_n)inE$ un aperto della base (come rettangolo aperto) sarebbe tipo $(x_1-epsilon_1,x_1+epsilon_1)xx...xx(x_n-epsilon_n,x_n+epsilon_n)$, con $epsilon_1,...,epsilon_n>0$ e ha misura $2^n*epsilon_1*...*epsilon_n>0$
